7.4Határozott integrál

A Riemann-integrál

Definíció 7.3 [ Intervallum beosztása ]

Legyen a<b∈Ra < b \in \Reals, ekkor az [a;b][a;b] egy beosztásán egy

d:={  xi∈R  ∣  i=0;1;… ;n,a=x0<x1<⋯<xn=b  }d := \Big\{ \; x_i \in \Reals \; | \; i = 0; 1; \dots; n, a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b \; \Big\}

ponthalmazt értjük. Az xix_i a beosztás egy osztópontja, az [xi−1;xi][x_{i - 1}; x_i] a beosztás egy részintervalluma, ∣∣d∣∣:=max⁡{x1−x0,x2−x1,…xn−xn−1}||d|| := \max \{x_1 - x_0, x_2 - x_1, \dots x_n - x_{n-1} \} a beosztás finomsága.

Megjegyzés

A d2d_2 a d1d_1 beosztás továbbosztása, ha d1⊂d2d_1 \subset d_2. A d1∪d2d_1 \cup d_2 a két beosztás egyesítése. Azt mondjuk, hogy a d2d_2 beosztása finomabb, mint a d1d_1, ha ∣∣d2∣∣<∣∣d1∣∣||d_2|| < ||d_1||.

Megjegyzés

Legyen (dk)(d_k), ahol k∈Nk \in \mathbb N, az [a;b][a; b] intervallum beosztásának egy sorozata. A (dk)(d_k)-t egy normális beosztás sorozatnak hívjuk, ha ∣∣dk∣∣→0||d_k|| \rightarrow 0, ha k→∞k \rightarrow \infty. A (dk)(d_k) normális beosztás sorozatot minden határon túl finomodó beosztás sorozatnak is nevezzük.

Definíció 7.4 [ Alsó és felső integrálközelítő összeg ]

Legyen f:[a;b]→Rf: [a;b] \rightarrow \Reals korlátos függvény, valamint dd a függvény értelmezési tartományának egy beosztása,

mi:=inf⁡  {  f(x)  ∣  x∈[xi;xi+1]  },Mi:=sup⁡  {  f(x)  ∣  x∈[xi;xi+1]  }.\begin{aligned} m_i & := \inf & \; & \Big\{\; f(x) \; | \; x \in [x_{i}; x_{i+1}] \;\Big\} \text, \\ M_i & := \sup & \; & \Big\{\; f(x) \; | \; x \in [x_{i}; x_{i+1}] \;\Big\} \text. \end{aligned}

Az ff függvény dd beosztásához tartozó alsó és felső integrálközelítő összege

s(f,d):=∑i=0n−1mi⋅(xi+1−xi),S(f,d):=∑i=0n−1Mi⋅(xi+1−xi).\begin{aligned} s(f, d) & := \sum_{i=0}^{n-1} m_i \cdot (x_{i+1} - x_i) \text, \\ S(f, d) & := \sum_{i=0}^{n-1} M_i \cdot (x_{i+1} - x_i) \text. \end{aligned}

Definíció 7.5 [ Közbeeső érték vektorhoz tartozó integrálközelítő összeg ]

Legyen ti∈[xi;xi+1]t_i \in [x_i; x_{i +1}]. Ekkor a t(t1,t2,…,tn)t(t_1, t_2, \dots, t_n) neve közbeeső érték vektor, a hozzá tartozó integrálközelítő összeg

σ(f,d,t):=∑i=0n−1f(ti)(xi+1−xi).\sigma(f,d,t) := \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i + 1} - x_i) \text.

Az oszcillációs összeg

o(f,d):=S(f,d)−s(f,d).o(f,d) := S(f,d) - s(f,d) \text.

Legyen f:[a;b]→Rf: [a;b] \rightarrow \Reals korlátos függvény:

  1. Ha dd az [a;b][a;b] intervallum egy beosztása, valamint tt tetszőleges közbeeső érték vektor, akkor
s(f,d)≤σ(f,d,t)≤S(f,d).s(f,d) \leq \sigma(f,d,t) \leq S(f,d) \text.
  1. Ha d2⊂d1d_2 \subset d_1, azaz d2d_2 a d1d_1 továbbosztása, akkor
s(f,d1)≤s(f,d2)≤S(f,d2)≤S(f,d1).s(f,d_1) \leq s(f,d_2) \leq S(f,d_2) \leq S(f,d_1) \text.
  1. Ha d1d_1 és d2d_2 tetszőleges beosztása az [a;b][a;b] intervallumnak, akkor
s(f,d1)≤S(f,d2).s(f,d_1) \leq S(f,d_2) \text.

Megjegyzés

Ha az f:[a;b]→Rf: [a;b] \rightarrow \Reals függvény korlátos, azaz ∃K\exists K, hogy ∣f(x)∣≤K|f(x)| \leq K, ekkor

s(f,d)≤∑i=0n−1∣mi∣⋅(xi+1−xi)≤∑i=0n−1K⋅(xi+1−xi)=K⋅(b−a).s(f, d) \leq \sum_{i=0}^{n-1} |m_i| \cdot (x_{i+1} - x_i) \leq \sum_{i=0}^{n-1} K \cdot (x_{i+1} - x_i) = K \cdot (b - a) \text.

Definíció 7.6 [ Darboux-féle alsó és felső integrál ]

Legyen f:[a;b]→Rf: [a;b] \rightarrow \Reals korlátos függvény.

Az I‾:=sup⁡{s(f,d)}\underline{I} := \sup \{ s(f, d) \} valós számot az ff függvény Darboux-féle alsó integráljának mondjuk. Jele:

I‾=∫‾abf.\underline I = \underline{\int}_{a}^{b} f \text.

Az I‾:=inf⁡{S(f,d)}\overline{I} := \inf \{ S(f, d) \} valós számot az ff függvény Darboux-féle felső integráljának mondjuk. Jele:

I‾=∫‾abf.\overline I = \overline{\int}_{a}^{b} f \text.

Definíció 7.7 [ Riemann-integrálhatóság ]

Az ff függvényt Riemann-integrálhatónak nevezzük [a;b][a; b]-n, ha a Darboux-féle alsó és felső integrálja az [a;b][a; b] intervallumon egyenlő. Ezt a közös értéket az ff függvény Riemann-integráljának mondjuk. Jele:

I=I‾=I‾=∫abfI = \underline I = \overline I = \int_{a}^{b} f

ahol I‾\underline I és I‾\overline I a függvény alsó és felső Darboux integrálja.

Tétel 7.1

Legyen f:[a;b]→Rf: [a;b] \rightarrow \Reals korlátos függvény, ekkor ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 esetén ∃δ(ε)\exists \delta(\varepsilon), hogy ha az [a;b][a; b] intervallum egy beosztására teljesül, hogy ∣∣d∣∣<δ(ε)||d|| < \delta(\varepsilon), akkor:

  1. 0<I‾=∣s(f,d)−I∣<ε0 < \underline I = |s(f, d) - I| < \varepsilon,

  2. 0<I‾=∣S(f,d)−I∣<ε0 < \overline I = |S(f, d) - I| < \varepsilon,

ahol I‾\underline I és I‾\overline I a függvény alsó és felső Darboux integrálja.

Megjegyzés

Ha az f:[a;b]→Rf: [a;b] \rightarrow \Reals függvény korlátos, (dk)(d_k) pedig az [a;b][a; b] intervallum normál beosztása, akkor

  1. lim⁡k→∞s(f,dk)=I‾\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty} s(f, d_k) = \underline I

  2. lim⁡k→∞S(f,dk)=I‾\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty} S(f, d_k) = \overline I

Megjegyzés

Ha az f:[a;b]→Rf: [a;b] \rightarrow \Reals függvény Riemann-integrálható az [a;b][a;b] intervallumon, (dk)(d_k) normális beosztássorozat, (tk)(t_k) pedig tetszőleges körbeeső érték vektor, akkor

σ(f,dk,tk)→I‾=I‾=∫abf, ha k→∞.\sigma(f, d_k, t_k) \rightarrow \underline I = \overline I = \int_{a}^{b} f \text{, ha } k \rightarrow \infty \text.

Megjegyzés

Riemann-integrálhatóság jelölése:

R[a;b]={  f:[a;b]→R, f Riemann-integraˊlhatoˊ az [a;b]-n  }.\mathcal R [a; b] = \Big\{\; f: [a;b] \rightarrow \Reals \text{, } f \text{ Riemann-integrálható az } [a; b] \text{-n} \;\Big\} \text.

Tétel 7.2 [ Első kritérium (oszcillációs összeggel) ]

Legyen f:[a;b]→Rf: [a; b] \rightarrow \Reals korlátos függvény, f∈R[a;b]f \in \mathcal R [a; b] akkor és csak akkor, ha ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 esetén létezik olyan dd beosztása az [a;b][a; b] intervallumnak, hogy o(f,d)<εo(f, d) < \varepsilon.

Tétel 7.3 [ Második kritérium (integrálközelítő összeggel) ]

Legyen f:[a;b]→Rf: [a; b] \rightarrow \Reals korlátos függvény, f∈R[a;b]f \in \mathcal R [a; b] akkor és csak akkor, ha ∃I⊂R\exists I \subset \Reals, hogy ∀ε\forall \varepsilon esetén ∃δ(ε)\exists \delta(\varepsilon), hogy ha ∣∣dk∣∣<δ(ε)||d_k|| < \delta(\varepsilon), t(t1,t2,…,tn)t(t_1, t_2, \dots, t_n) tetszőleges közbeeső érték vektor, akkor ∣σ(f,dk,tk)−I∣<ε|\sigma(f, d_k, t_k) - I| < \varepsilon.

Tétel 7.4 [ Harmadik kritérium (normális beosztás sorozattal) ]

Legyen f:[a;b]→Rf: [a; b] \rightarrow \Reals korlátos függvény, f∈R[a;b]f \in \mathcal R [a; b] akkor és csak akkor, ha ∀(dk)\forall (d_k) és ∀(tk)\forall (t_k) esetén:

(dk) konvergens, valamint lim⁡k→∞σ(f,dk,tk)=∫abf.(d_k) \text{ konvergens, valamint } \lim_{k \rightarrow \infty} \sigma(f, d_k, t_k) = \int_{a}^{b} f \text.

Tétel 7.5 [ Monoton függvény integrálhatósága ]

Korlátos, zárt intervallumon monoton függvény ott Riemann-integrálható.

Tétel 7.6 [ Korlátos függvény integrálhatósága ]

Korlátos, zárt intervallumon folytonos függvény ott Riemann-integrálható.

Definíció 7.8 [ Nullmértékű halmaz ]

Egy H⊂RH \subset \Reals halmazt Lebesgue szerint nullmértékűnek nevezünk, ha lefedhető megszámlálhatóan sok tetszőlegesen kicsi összhosszúságú intervallumrendszer uniójával, azaz ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 esetén ∃Ik\exists I_k, ahol k∈Ak \in A (megszámlálható halmaz), hogy

H⊂⋃k∈AIk eˊs ∑k∈A∣Ik∣<ε.H \subset \bigcup_{k \in A} I_k \text{ és } \sum_{k \in A} |I_k| < \varepsilon \text.

Nullmértékű halmazok tulajdonságai:

  1. véges halmaz Lebesgue szerint nullmértékű,

  2. megszámlálhatóan végtelen halmaz Lebesgue szerint nullmértékű,

  3. létezik kontinuum számosságú Lebesgue szerint nullmértékű halmaz, (pl. Cantor-féle halmaz,)

  4. Lebesgue szerint nullmértékű halmaz minden részhalmaza is nullmértékű,

  5. megszámlálhatóan sok Lebesgue szerint nullmértékű halmaz uniója ugyancsak Lebesgue szerint nullmértékű.

Tétel 7.7 [ Lebesgue tétele ]

Egy zárt intervallumon korlátos függvény ott Riemann-integrálható akkor és csak akkor, ha a függvény egy Lebesgue szerint nullmértékű halmaz pontjaitól eltekintve folytonos, ilyenkor azt is mondjuk, hogy a függvény majdnem folytonos.

Tétel 7.8 [ A Riemann-integrál tulajdonságai ]

Ha f,g∈R[a;b]f, g \in \mathcal R[a;b], λ∈R\lambda \in \Reals, c∈(a;b)c \in (a; b), akkor

additív:∫abf+g ⁣dx=∫abf ⁣dx+∫abg ⁣dx\displaystyle \int_a^b f + g \dd x = \int_a^b f \dd x + \int_a^b g \dd x,
homogén:∫abλ⋅f ⁣dx=λ⋅∫abf ⁣dx\displaystyle \int_a^b \lambda \cdot f \dd x = \lambda \cdot \int_a^b f \dd x,
additív az integrációs intervallumra:∫abf ⁣dx=∫acf ⁣dx+∫cbf ⁣dx\displaystyle \int_a^b f \dd x = \int_a^c f \dd x + \int_c^b f \dd x.

Tétel 7.9 [ Integrálszámítás alaptétele ]

Ha f∈R[a;b]f \in \mathcal R [a; b], valamint ff korlátos (∀x∈[a;b]\forall x \in [a; b] esetén m≤f(x)≤Mm \leq f(x) \leq M), akkor

m(b−a)≤∫abf≤M(b−a)m(b - a) \leq \int_a^b f \leq M(b - a)

  1. Ha f>0f > 0, f∈R[a;b]f \in \mathcal R [a; b], akkor ∫abf>0\displaystyle \int_a^b f > 0.

  2. Ha f≥gf \geq g, f,g∈R[a;b]f, g \in \mathcal R [a; b], akkor ∫abf≥∫abg\displaystyle \int_a^b f \geq \int_a^b g.

  3. Ha f∈R[a;b]f \in \mathcal R [a; b], akkor ∣f∣∈R[a;b]|f| \in \mathcal R [a; b] és ∣∫abf∣≤∫ab∣f∣\displaystyle \left| \int_a^b f \right| \leq \int_a^b |f|

Tétel 7.10 [ Középértéktétel folytonos függvényekre ]

Ha f:[a;b]→Rf: [a; b] \rightarrow \Reals folytonos az [a; b] intervallumon, akkor ∃c∈[a;b]\exists c \in [a; b] hogy:

∫abf=f(c)⋅(b−a).\int_a^b f = f(c) \cdot (b - a) \text.

A Newton-Leibniz-formula

Definíció 7.9

Ha f∈R[a;b]f \in \mathcal R [a; b], akkor

∫aaf:=0 eˊs ∫abf=−∫baf.\int_a^a f := 0 \quad \text{ és } \quad \int_a^b f = - \int_b^a f \text.

Definíció 7.10 [ Területmérő függvény ]

Az ff függvény területmérő függvénye:

F(x):=∫axf(t) ⁣dt.F(x) := \int_a^x f(t) \dd t \text.

Tétel 7.11

Legyen f∈R[a;b]f \in \mathcal R [a; b] és FF az ff függvény területmérő függvénye, akkor FF egyenletesen folytonos az [a;b][a; b] intervallumon és ha ff folytonos az xx pontban és FF differenciálható az xx pontban, akkor F′(x)=f(x)F'(x) = f(x).

Tétel 7.12 [ Newton-Leibniz-formula ]

Legyen f∈R[a;b]f \in \mathcal R [a; b] F:[a;b]→RF: [a; b] \rightarrow \Reals folytonos az [a;b][a; b]-n és differenciálható az (a;b)(a; b)-n, valamint F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) ∀x∈[a;b]\forall x \in [a; b], ekkor

∫abf(x) ⁣dx=F(b)−F(a)=F(x)∣ab=[F(x)]ab.\int_a^b f(x) \dd x = F(b) - F(a) = F(x) \Big|_a^b = \Big[ F(x) \Big]_a^b \text.

Megjegyzés

Ha az GG függvény az ff függvény primitív függvénye, akkor az alábbi egyenlőség is igaz:

G(b)−G(a)=∫abf(x) ⁣dx.G(b) - G(a) = \int_a^b f(x) \dd x \text.

Tétel 7.13 [ Helyettesítéses integrálás ]

Tegyük fel, hogy g:[a;b]→[c;d]g: [a; b] \rightarrow [c; d] és f:[c;d]→Rf: [c; d] \rightarrow \Reals, továbbá g′(x)g'(x) folytonos az [a;b][a; b]-n ff pedig folytonos a [c;d][c; d]-n. Ekkor:

∫abf(g(x))⋅g′(x) ⁣dx=∫g(a)g(b)f(t) ⁣dt.\int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x) \dd x = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t) \dd t \text.

Improprius integrál

Definíció 7.11 [ Impropius Riemann-integrál ]

Legyen a,b∈Rba, b \in \Reals_b, a<ba < b, és tegyük fel, hogy ∀[x;y]⊂(a;b)\forall [x; y] \subset (a; b) esetén f∈R[x;y]f \in \mathcal R [x; y] (x,y∈Rx, y \in \Reals), és ∃c∈(a;b)\exists c \in (a; b), hogy

lim⁡x→a∫xcf(t) ⁣dt eˊs lim⁡y→b∫cyf(t) ⁣dt\lim_{x \rightarrow a} \int_x^c f(t) \dd t \quad \text{ és } \quad \lim_{y \rightarrow b} \int_c^y f(t) \dd t

határértékek végesek, ekkor az

I=lim⁡x→a∫xcf(t) ⁣dt+lim⁡x→b∫cxf(t) ⁣dtI = \lim_{x \rightarrow a} \int_x^c f(t) \dd t + \lim_{x \rightarrow b} \int_c^x f(t) \dd t

összeget az ff függvény improprius integráljának nevezzük az [a;b][a; b]-n.

Azt is mondjuk, hogy az ff függvény improprius Riemann-integrálja konvergens az (a;b)(a; b)-n.

Ha az első feltétel teljesül, viszont a határértékek divergensek, akkor az ff függvény improprius Riemann-integrálja divergens.

Megjegyzés

Az integrál értéke nem függ cc megválasztásától.

Megjegyzés

Ha az ff nem korlátos a γ∈(a;b)\gamma \in (a;b) pont környezetében, akkor az [a;b][a; b]-t két részre bontjuk úgy, hogy γ\gamma osztópont legyen:

∫abf=∫aγf+∫γbf.\int_a^b f = \int_a^\gamma f + \int_\gamma^b f \text.

Példa

Számítsuk ki az alábbi integrálok értékét:

∫0∞e−x ⁣dx,∫1∞1x2 ⁣dx\int_0^\infty e^{-x} \dd x \text, \quad \int_1^\infty \frac{1}{x^2} \dd x

Az első integrál értéke:

∫0∞e−x ⁣dx=lim⁡a→∞∫0ae−x ⁣dx=lim⁡a→∞[−e−x]0a=lim⁡a→∞−e−a+e0=0+1=1.\int_0^\infty e^{-x} \dd x = \lim_{a \rightarrow \infty} \int_0^a e^{-x} \dd x = \lim_{a \rightarrow \infty} \Big[ -e^{-x} \Big]_0^a = \lim_{a \rightarrow \infty} -e^{-a} + e^0 = 0 + 1 = 1 \text.

A második integrál értéke:

∫1∞1x ⁣dx=lim⁡a→∞∫1a1x2 ⁣dx=lim⁡a→∞[−1x]1a=lim⁡a→∞−1a+1=0+1=1.\int_1^\infty \frac{1}{x} \dd x = \lim_{a \rightarrow \infty} \int_1^a \frac{1}{x^2} \dd x = \lim_{a \rightarrow \infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^a = \lim_{a \rightarrow \infty} -\frac{1}{a} + 1 = 0 + 1 = 1 \text.
Előző oldalIntegrálási módszerek, speciális esetekKövetkező oldalFelkészülést segítő kérdések