6.2Nevezetes függvények deriváltjai

Trigonometrikus függvények

Az egységkör xx szöghöz tartozó pontja (cos⁡x;sin⁡x)(\cos x;\sin x). A tangens és a kotangens az egységkör megfelelő érintőszakaszaival szemléltethető.

f(x)f(x)f′(x)f'(x)
sin⁡x\sin xcos⁡x11−x2\cos x \vphantom{\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}
cos⁡x\cos x−sin⁡x11−x2-\sin x \vphantom{\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}
tan⁡x\tan x1cos⁡2x\dfrac{1}{\cos^2 x}
cot⁡x\cot x−1sin⁡2x-\dfrac{1}{\sin^2 x}
f(x)f(x)f′(x)f'(x)
arcsin⁡x\arcsin x11−x2\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
arccos⁡x\arccos x−11−x2-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
arctan⁡x\arctan x11+x2cos⁡2\dfrac{1}{1+x^2 \vphantom{\cos^2}}
arccot⁡x\arccot x−11+x2sin⁡2-\dfrac{1}{1+x^2 \vphantom{\sin^2}}

Hiperbolikus függvények

Az egységhiperbola pontjai (cosh⁡x;sinh⁡x)(\cosh x;\sinh x) alakban paraméterezhetők, és teljesítik a cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2x-\sinh^2x=1 azonosságot.

f(x)f(x)f′(x)f'(x)
sinh⁡x\sinh xcosh⁡x1x2−1\cosh x \vphantom{\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}}
cosh⁡x\cosh xsinh⁡x1x2−1\sinh x \vphantom{\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}}
tanh⁡x\tanh x1cosh⁡2x\dfrac{1}{\cosh^2 x}
coth⁡x\coth x−1sinh⁡2x-\dfrac{1}{\sinh^2 x}
f(x)f(x)      f′(x)\;\;\;f'(x)
arcsinh⁡x\arcsinh x1x2+1\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}
arccosh⁡x\arccosh x1x2−1       (x>1)\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}} \;\;\;\, (x > 1)
arctanh⁡x\arctanh x    11−x2cosh⁡2(∣x∣<1)\;\;\dfrac{1}{1-x^2 \vphantom{\cosh^2}} \quad (\lvert x \rvert < 1)
arccoth⁡x\arccoth x    11−x2sinh⁡2(∣x∣>1)\;\;\dfrac{1}{1-x^2 \vphantom{\sinh^2}} \quad (\lvert x \rvert > 1)

Hiperbolikus azonosságok

sinh⁡x=ex−e−x2cosh⁡x=ex+e−x2sinh⁡x=−i sin⁡(i x)cosh⁡x=cos⁡(i x)sinh⁡2x=cosh⁡2x−12cosh⁡2x=cosh⁡2x+12sinh⁡2x=2sinh⁡xcosh⁡xcosh⁡2x=cosh⁡2x+sinh⁡2x\begin{aligned} \sinh x & = \frac{e^x - e^{-x}}{2} & \cosh x & = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\[1mm] \sinh x & = - \iu \sin(\iu x) & \cosh x & = \cos(\iu x) \\[1mm] \sinh^2 x & = \frac{\cosh 2x - 1}{2} & \cosh^2 x & = \frac{\cosh 2x + 1}{2} \\[1mm] \sinh 2x & = 2 \sinh x \cosh x & \cosh 2x & = \cosh^2 x + \sinh^2 x \end{aligned}

Megjegyzés

Osborne-szabály

Minden trigonometrikus azonosság egy hiperbolikus azonossággá alakítható, és fordítva, ha végrehajtjuk a következő cseréket:

  • cos⁡xsin⁡2→−cosh⁡x\cos x \phantom{\sin^2} \to \quad \phantom{-} \cosh x,

  • sin⁡xcos⁡2→−sinh⁡x\sin x \phantom{\cos^2} \to \quad \phantom{-} \sinh x,

  • sin⁡2xcos⁡→−sinh⁡2x\sin^2 x \phantom{\cos} \to \quad -\sinh^2 x.

Például:

cos⁡2x+sin⁡2x=1→cosh⁡2x−sinh⁡2x=1.\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \quad \to \quad \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \text.

További függvények

f(x)f(x)f′(x)f'(x)
exe^xexe^x
ln⁡x\ln x1xx1n−1n\dfrac{1}{x} \vphantom{\dfrac{x^{\frac{1}{n} - 1}}{n}}
f(x)f(x)f′(x)f'(x)
axa^xaxln⁡aa^x \ln a
log⁡ax\log_a x1xln⁡ax1n−1n\dfrac{1}{x \ln a} \vphantom{\dfrac{x^{\frac{1}{n} - 1}}{n}}
f(x)f(x)f′(x)f'(x)
xnx^nn⋅xn−1n \cdot x^{n - 1}
xn\sqrt[n]{x}x1n−1n\dfrac{x^{\frac{1}{n} - 1}}{n}
Előző oldalBevezetésKövetkező oldalKözépértéktételek