1.4A halmazok számossága

Definíció 1.13 [ Azonos számosságú halmazok ]

Ha két halmaz, AA és BB között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés hozható létre, akkor azt mondjuk, hogy a két halmaz számossága azonos. Jelölése: card⁡A=card⁡B\card A = \card B.

Megjegyzés

A számosság ekvivalenciareláció.

Definíció 1.14 [ Véges halmaz ]

Az AA halmaz véges, ha ∃n∈N\exists n \in \mathbb N, hogy card⁡A=card⁡  {1;2;… ;n}\card A = \card \; \{ 1; 2; \dots; n \}, vagy ha A=∅A = \emptyset.

Megjegyzés

Ha nincs olyan nn természetes szám, amelyre az A≠∅A \neq \emptyset halmaz ekvivalens volna az {1;2;… ;n}\{ 1; 2; \dots; n \} halmazzal, akkor az AA halmazt végtelen számosságúnak mondjuk. Létezik megszámlálhatóan és megszámlálhatatlanul végtelen halmaz.

A végtelen halmazok között is vannak különböző számosságok. A természetes, egész és racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen, míg a valós számok halmaza nem megszámlálható.

Tétel 1.4 [ Racionális számok halmazának számossága ]

A racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen.

Bizonyítás [ Cantor átlós módszere ]

Minden pozitív racionális szám felírható tört alakban, ahol a nevező és a számláló is egész szám, ráadásul ezek egymás relatív prímjei.

Ezeket a törteket rendezzük egy olyan táblázatba, ahol az nn sorban az mm oszlopban az m/nm/n tört áll. Ezeket a törteket az ábrán jelöl módszerrel sorba állítjuk, sorrendjük szerint pedig egyértelműen megfeleltethetők a természetes számoknak.

Könnyen belátható, hogy ez a módszer az összes racionális számra is kiterjeszthető, tehát a racionális számok halmaza valóban megszámlálhatóan végtelen.

A pozitív racionális számokat például a következő táblázatban rendezhetjük:

11223344
111/11/12/12/13/13/14/14/1
221/21/22/22/23/23/24/24/2
331/31/32/32/33/33/34/34/3
441/41/42/42/43/43/44/44/4

Az átlók mentén haladva minden pozitív racionális számhoz természetes sorszám rendelhető. Az ismétlődő, nem egyszerűsített törteket kihagyjuk.

Tétel 1.4 [ Valós számok halmazának számossága ]

A valós számok halmaza nem megszámlálhatóan végtelen.

Fontosabb jelölések

  • Nyílt halmaz jelölése: (x;y)=]x;y[=⟨x;y⟩(x; y) = ]x; y[ = \langle x; y \rangle.
  • Zárt halmaz jelölése: [x;y][x; y].
  • Az aa pont ε\varepsilon sugarú környezete: K(a;ε):=(a−ε;a+ε)K(a; \varepsilon) := (a - \varepsilon; a + \varepsilon) (ezzel ekvivalens: ∣x−a∣<ε|x-a| < \varepsilon).

Az aa pont ε\varepsilon sugarú környezete a számegyenesen az aa körüli nyílt intervallum:

K(a;ε)=(a−ε;a+ε)={x∈R∣∣x−a∣<ε}. K(a;\varepsilon) = (a-\varepsilon;a+\varepsilon) = \{x\in\mathbb R \mid |x-a|<\varepsilon\}.

Definíció 1.15 [ Alsó és felső korlát ]

A felülről korlátos HH halmaz legkisebb felső korlátja: supremum, jele: sup⁡H\sup H.

Az alulról korlátos HH halmaz legnagyobb alsó korlátja: infimum, jele: inf⁡H\inf H.

Tétel 1.4 [ Korlátos halmaz szuprémuma ]

Felülről korlátos nemüres halmaznak mindig van szuprémuma.

Tétel 1.4 [ Korlátos halmaz infimuma ]

Alulról korlátos nemüres halmaznak mindig van infimuma.

Előző oldalA számfogalom kiépítéseKövetkező oldalFelkészülést segítő kérdések