5.3Folytonosság

Definíció 5.6 [ Folytonosság ]

Egy f:Df→Rf : \Domain_f \rightarrow \Reals függvény folytonos egy a∈Dfa \in \Domain_f pontban, ha ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 esetén ∃δ(ε)>0\exists \delta( \varepsilon) > 0, hogy ∣f(x)−f(a)∣<ε|f(x) - f(a)| < \varepsilon, ha ∣x−a∣<δ(ε)|x - a| < \delta( \varepsilon).

Állítás

A folytonosság definíciója ekvivalens a következővel: ff függvény folytonos egy a∈Df{a \in \Domain_f} pontban, ha

lim⁡x→af(x)=f(a).\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \text.

Megjegyzés

Ha ff és gg folytonosak az a∈Df∩Dga \in \Domain_f \cap \Domain_g pontban, akkor f+gf + g, f−gf - g, f⋅gf \cdot g és g≠0g \neq 0 esetén f/gf / g is folytonosak az aa pontban.

Megjegyzés

Ha ff folytonos az a∈Dfa \in \Domain_f pontban és gg folytonos az f(a)∈Dgf(a) \in \Domain_g pontban, akkor g∘fg \circ f is folytonos az aa pontban.

Definíció 5.7 [ Baloldali folytonosság ]

Az ff függvény balról folytonos az értelmezési tartományának egy aa pontjában, ha a bal oldali határértéke megegyezik az adott pontbeli függvényértékkel, vagyis:

lim⁡−x→a−f(x)=f(a).\lim_{\phantom{{}^{-}} x \rightarrow a^-} f(x) = f(a) \text.

Definíció 5.8 [ Jobboldali folytonosság ]

Az ff függvény jobbról folytonos az értelmezési tartományának egy aa pontjában, ha a jobb oldali határértéke megegyezik az adott pontbeli függvényértékkel, vagyis:

lim⁡+x→a+f(x)=f(a).\lim_{\phantom{{}^{+}} x \rightarrow a^+} f(x) = f(a) \text.

Megjegyzés

Az ff függvény folytonos az értelmezési tartományának egy pontjában, ha ott jobbról és balról is folytonos.

Definíció 5.9 [ Függvény folytonossága nyílt intervallumon ]

Az ff függvény folytonos az (a;b)(a; b) intervallumon, ha ennek az intervallumnak minden pontjában folytonos.

Definíció 5.10 [ Függvény folytonossága zárt intervallumon ]

Az ff függvény folytonos az [a;b][a; b] intervallumon, ha folytonos az (a;b)(a; b) intervallumon, valamint jobbról folytonos az aa-ban, illetve balról folytonos a bb-ben.

Tétel 5.4 [ Bolzano-tétel ]

Ha az ff folytonos az [a;b][a;b] intervallumon, akkor itt felvesz minden f(a)f(a) és f(b)f(b) közé eső értéket.

Megjegyzés

A Bolzano-tétel megfordítása nem igaz.

Megjegyzés

A Bolzano-tételből következik, hogy ha valamely [a;b][a; b] intervallumon folytonos függvény esetén f(a)⋅f(b)<0f(a) \cdot f(b) < 0, akkor ∃ξ∈(a;b)\exists \xi \in (a;b), hogy f(ξ)=0f(\xi) = 0.

Tétel 5.5

Ha az ff függvény folytonos az [a;b][a; b] intervallumon, akkor ott korlátos. (Zárt intervallumon folytonos függvény korlátos.)

Definíció 5.11

Legyen T⊂DfT \subset \Domain_f és H:=f(T)⊂RfH := f(T) \subset \Range_f

  • Ha HH-nak van legnagyobb értéke, akkor ezt az f függvény TT-n felvett maximumának mondjuk.

  • Ha HH-nak van legkisebb értéke, akkor ezt az f függvény TT-n felvett minimumának mondjuk.

Tétel 5.6 [ Weierstrass-tétel ]

Zárt intervallumon folytonos függvény felveszi a szélsőértékeit függvényértékként.

Definíció 5.12 [ Egyenletes folytonosság ]

Az ff függvény egyenletesen folytonos a HH halmazon, ha ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 esetén ∃δ(ε)\exists \delta(\varepsilon), hogy ∣f(x1)−f(x2)∣<ε{|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon}, ha ∣x1−x2∣<δ(ε)|x_1 - x_2| < \delta(\varepsilon), ∀x1,x2∈H\forall x_1, x_2 \in H esetén.

Tétel 5.7

Zárt intervallumon folytonos függvény ott egyenletesen folytonos.

Tétel 5.8

Zárt intervallumon folytonos szigorúan monoton függvény inverze ugyancsak folytonos és az eredeti függvénnyel megegyező monotonitású.

Tétel 5.9

lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1
Előző oldalFüggvények határértékeKövetkező oldalFelkészülést segítő kérdések