4.1Fogalmak, definíciók

Definíció 4.1 [ Numerikus sor ]

!(an):N→R!(a_n) : \mathbb{N} \rightarrow \Reals numerikus sorozat, amelyből képezzük az alábbi sorozatot:

s1=a1s2=a1+a2⋮sn=a1+a2+⋯+an=∑i=1nai\begin{aligned} s_1 & = a_1 \\ s_2 & = a_1 + a_2 \\ & \vdots \\ s_n & = a_1 + a_2 + \dots + a_n = \sum_{i=1}^{n} a_i \\ \end{aligned}

Az így képzett (sn)(s_n)-t az (an)(a_n) sorozatból képzett numerikus sornak mondjuk. Jele:

sn=∑an,s_n = \sum a_n \text,

ahol ana_n a sor nn-edik/általános tagja, sns_n pedig a sor nn-edik részletösszege.

Azt mondjuk, hogy a ∑an\sum a_n sor konvergens, ha az sns_n sorozat konvergens, továbbá ∑an\sum a_n sor divergens, ha sns_n sorozat divergens.

Az sns_n sorozat határértékét a ∑an\sum a_n sor összegének hívjuk:

lim⁡n→∞sn=lim⁡n→∞∑i=1nai=∑i=1∞ai.\lim_{n \rightarrow \infty} s_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n a_i=\sum_{i=1}^\infty a_i \text.

Tétel 4.1 [ A numerikus sor konvergenciájának szükséges feltétele ]

Ha a ∑an\sum a_n numerikus sor konvergens, akkor az (an)(a_n) nullsorozat, azaz lim⁡n→∞an=0\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=0, sőt an+an+1+...+an+p→0a_n+a_{n+1}+...+a_{n+p} \rightarrow 0, ha n→∞n\rightarrow \infty (ekkor p∈Np\in\mathbb{N} rögzített).

Megjegyzés

A ∑0aqn\sum_0 a q^n végtelen geometriai sor konvergens ⇔\Leftrightarrow ha ∣q∣<1|q|<1, ekkor a sorösszeg a⋅11−qa\cdot \frac{1}{1-q}.

Tétel 4.2 [ A numerikus sor konvergenciájának elégséges feltétele ]

∑an\sum a_n numerikus sor akkor és csak akkor konvergens ha ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 esetén

∃N(ε):∣an+1+an+2+⋯+am∣<ε,\exists N(\varepsilon): |a_{n + 1} + a_{n + 2} + \dots + a_m| < \varepsilon \text,

ha n,m>N(ε)n, m > N(\varepsilon) és m>nm > n.

Megjegyzés

Véges sok tag elhagyása/megváltoztatása a sorozatban a konvergenciát nem változtatja meg, de a sorösszeget igen.

Megjegyzés

Legyen ∑an\sum a_n és ∑bn\sum b_n konvergens numerikus sor, ekkor ∑(an+bn)\sum (a_n + b_n) is konvergens és

∑n=1∞(an+bn)=∑n=1∞an+∑n=1∞bn\sum_{n=1}^\infty (a_n + b_n) = \sum_{n=1}^\infty a_n + \sum_{n=1}^\infty b_n

Megjegyzés

Legyen ∑an\sum a_n konvergens numerikus sor és λ\lambda valós szám, ekkor

∑n=1∞λan=λ∑n=1∞an.\sum_{n=1}^\infty \lambda a_n = \lambda \sum_{n=1}^\infty a_n \text.

Tétel 4.3 [ Csoportosított sor konvergenciája ]

Ha ∑an\sum a_n konvergens, úgy bármely csoportosított sora is konvergens és a két sor összege megegyezik.

Megjegyzés

A tétel visszafelé is igaz.

Definíció 4.2 [ Sor abszolút konvergencia ]

A ∑an\sum a_n-t abszolút konvergensnek hívjuk, ha ∑∣an∣\sum |a_n| konvergens.

Megjegyzés

Ha egy nemnegatív tagú sor konvergens, akkor abszolút konvergens. Ha a ∑an\sum a_n sor konvergens, de nem abszolút konvergens, akkor feltételes konvergenciáról beszélünk.

Tétel 4.4 [ Feltételes konvergencia ]

Abszolút konvergens sor feltételesen is konvergens.

Megjegyzés

Az állítás visszafelé nem igaz.

Tétel 4.5 [ Riemann-tétel ]

Legyen ∑an\sum a_n feltételesen konvergens, de nem abszolút konvergens numerikus sor és legyen α\alpha egy tetszőleges bővített valós szám, ekkor ∑an\sum a_n-nek van olyan átrendezése, hogy az átrendezett sor összege éppen α\alpha.

Tétel 4.6 [ Abszolút konvergens sor átrendezése ]

Abszolút konvergens sor bármely átrendezett sora is abszolút konvergens és a sorösszeg azonos.

Tétel 4.7 [ Majoráns (felülről becsül) és minoráns (alulról becsül) kritérium ]

Legyenek ∑an\sum a_n és ∑bn\sum b_n nemnegatív tagú sorok, melyekre az an<bn:∀n∈Na_n < b_n : \forall n \in \mathbb{N}-re vagy n0<nn_0 < n esetén:

  1. ha ∑an\sum a_n divergens, akkor ∑bn\sum b_n is az (minoráns kritérium),

  2. ha ∑bn\sum b_n konvergens, akkor ∑an\sum a_n is az (majoráns kritérium).

Tétel 4.8 [ A hányados vagy D'Alambert-teszt ]

∑an\sum a_n egy pozitív tagú numerikus sor, ha ∃0≤q<1\exists 0 \leq q < 1 valós szám, hogy an+1an≤q\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq q, ha n>n0n>n_0 vagy ∀n\forall n esetén, akkor a ∑an\sum a_n konvergens.

Tétel 4.9 [ Gyök/Cauchy-teszt ]

Legyen ∑an\sum a_n egy nemnegatív tagú sor, ha ∃0≤q<1\exists 0 \leq q < 1, hogy ann≤q\sqrt[n]{a_n} \leq q, ha n>n0n>n_0 vagy ∀n\forall n-re, akkor ∑an\sum a_n konvergens.

Megjegyzés

Vegyük észre, hogy a majoráns illetve minoráns kritérium és az előző két teszt az abszolút konvergencia eldöntésére szolgál, a feltételes konvergenciáról nem ad információt.

Tétel 4.10 [ Integrál kritérium ]

Ha x≥1x \geq 1 esetén az ff függvény folytonos, nemnegatív és csökkenő, akkor a ∑∣fn∣\sum |f_n| numerikus sor konvergens vagy divergens aszerint, hogy

∫1∞f(x) ⁣dx konvergens vagy divergens.\int_1^\infty f(x) \dd x \text{ konvergens vagy divergens.}

Definíció 4.3 [ Alternáló sor ]

A ∑(−1)n+1⋅bn\sum (-1)^{n+1} \cdot b_n, bn>0b_n > 0 numerikus sort alternáló sornak nevezzük.

Tétel 4.11 [ Leibniz sor ]

A ∑(−1)n+1⋅bn\sum (-1)^{n+1} \cdot b_n alternáló numerikus sor konvergens akkor és csakis akkor, ha (bn)(b_n) monoton csökkenő nullsorozat, ekkor az ∣s−sn∣≤bn+1|s - s_n| \leq b_{n + 1}.

Definíció 4.4 [ Cauchy-féle szorzatsor ]

Legyenek (an)(a_n) és (bn)(b_n) a nemnegatív egészek halmazán értelmezett numerikus sorozatok és

cn:=∑k=0nakbn−k,c_n:=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \text,

ekkor a ∑cn\sum c_n-t a ∑an\sum a_n és ∑bn\sum b_n numerikus sorok Cauchy-féle szorzatsorának hívjuk.

Tétel 4.12 [ Cauchy-féle szorzatsorok konvergenciája I ]

Abszolút konvergens sorok Cauchy-féle szorzatsora is abszolút konvergens és a szorzatsor összege a tényezősorok összegének szorzata.

Tétel 4.13 [ Cauchy-féle szorzatsorok konvergenciája II ]

Tegyük fel, hogy a ∑an\sum a_n abszolút konvergens és sorösszege AA és a ∑bn\sum b_n feltételesen konvergens és a sorösszege BB, ekkor a Cauchy-féle szorzatsorok sorösszege A⋅BA\cdot B.

Tétel 4.14 [ Cauchy-féle kondenzációs kritérium ]

Legyen (an)(a_n) monoton csökkenő nemnegatív tagú sorozat, a belőle képzett numerikus sor akkor és csak akkor konvergens, ha

∑k=02ka2k=a1+2⋅a2+22⋅a4+…\sum_{k = 0} 2^k a_{2k} = a_1 + 2 \cdot a_2 + 2^2 \cdot a_4 + \dots

is konvergens.

Állítás

∑1nα\displaystyle \sum \dfrac{1}{n^\alpha} konvergens, ha α>1\alpha > 1 és divergens, ha α≤1\alpha \leq 1.

Állítás

∑1n⋅(ln⁡n)P\displaystyle \sum \dfrac{1}{n \cdot (\ln n)^P} konvergens, ha P>1P>1 és divergens, ha P≤1P \leq 1.

Előző oldalSorokKövetkező oldalFelkészülést segítő kérdések