7.2Integrálási segédlet

∫f(x) ⁣dx=F(x)+C \int f(x) \dd x = F(x) + C
f(x)f(x)F(x)F(x)
kkkxkx
xαx^{\alpha}xα+1α+1\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}, α≠−1\alpha \ne -1
1x\dfrac{1}{x}$\ln
exe^xexe^x
axa^xaxln⁡a\dfrac{a^x}{\ln a}
sin⁡x\sin x−cos⁡x-\cos x
cos⁡x\cos xsin⁡x\sin x
1cos⁡2x\dfrac{1}{\cos^2x}tan⁡x\tan x
1sin⁡2x\dfrac{1}{\sin^2x}−cot⁡x-\cot x
11−x2\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}arcsin⁡x\arcsin x
−11−x2-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}arccos⁡x\arccos x
11+x2\dfrac{1}{1+x^2}arctan⁡x\arctan x
−11+x2-\dfrac{1}{1+x^2}arccot⁡x\arccot x
sinh⁡x\sinh xcosh⁡x\cosh x
cosh⁡x\cosh xsinh⁡x\sinh x
1cosh⁡2x\dfrac{1}{\cosh^2x}tanh⁡x\tanh x
1sinh⁡2x\dfrac{1}{\sinh^2x}−coth⁡x-\coth x
1x2+1\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}arcsinh⁡x\arcsinh x
1x2−1\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}arccosh⁡x\arccosh x
11−x2\dfrac{1}{1-x^2}arctanh⁡x\arctanh x
11−x2\dfrac{1}{1-x^2}arccoth⁡x\arccoth x

Linearitás

∫λf(x)  ⁣dx=λ∫f(x)  ⁣dx \int \lambda f(x)\,\dd x = \lambda \int f(x)\,\dd x∫(f(x)±g(x))  ⁣dx=∫f(x)  ⁣dx±∫g(x)  ⁣dx \int (f(x) \pm g(x))\,\dd x = \int f(x)\,\dd x \pm \int g(x)\,\dd x∫abf(x)  ⁣dx=∫acf(x)  ⁣dx+∫cbf(x)  ⁣dx \int_a^b f(x)\,\dd x = \int_a^c f(x)\,\dd x + \int_c^b f(x)\,\dd x

Parciális integrálás

∫u  ⁣dv=uv−∫v  ⁣du \int u\,\dd v = uv - \int v\,\dd u∫f′(x)g(x)  ⁣dx=f(x)g(x)−∫f(x)g′(x)  ⁣dx \int f'(x)g(x)\,\dd x = f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,\dd x

Helyettesítéses integrálás

∫ef(x)f′(x)  ⁣dx=ef(x)+C \int e^{f(x)}f'(x)\,\dd x=e^{f(x)}+C∫f′(x)f(x)  ⁣dx=ln⁡∣f(x)∣+C \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,\dd x=\ln|f(x)|+C∫fα(x)f′(x)  ⁣dx=fα+1(x)α+1+C,α≠−1 \int f^\alpha(x)f'(x)\,\dd x =\frac{f^{\alpha+1}(x)}{\alpha+1}+C, \qquad \alpha\ne-1∫f(g(x))g′(x)  ⁣dx=F(g(x))+C \int f(g(x))g'(x)\,\dd x=F(g(x))+C
Előző oldalHatározatlan integrálKövetkező oldalIntegrálási módszerek, speciális esetek