6.1Bevezetés

Definíció 6.1 [ Differenciahányados ]

Legyen f:I⊂R→Rf: I \subset \Reals \rightarrow \Reals értelmezve az x∈Ix \in I pontban és annak környezetében. Ha x≠ax \neq a, akkor az

f(x)−f(a)x−a\frac{f(x) - f(a)}{x - a}

hányadost különbséghányadosnak vagy differenciahányadosnak nevezzük. Jelölése:

Δf(a)Δx vagy f(a+Δx)−f(a)Δx.\frac{\Delta f(a)}{\Delta x} \quad \text{ vagy } \quad \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x} \text.

Definíció 6.2 [ Differenciálhányados ]

Ha létezik és véges a

lim⁡x→af(x)−f(a)x−a\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

határérték, akkor azt az ff függvény aa pontbeli differenciálhányadosának, vagy az aa pontbeli deriváltjának mondjuk. Jelölése:

f′(a) vagy  ⁣df(a) ⁣dx.f'(a) \quad \text{ vagy } \quad \odv{f(a)}{x} \text.

Az ff függvény aa pontbeli érintőjének egyenlete onnan következik, hogy f′=mf' = m, ahol mm a meredekséget jelöli, az y=m⋅x+by = m \cdot x + b egyenes egyenletéből levezetve:

f(a)=f′(a)⋅a+b→b=f(a)−f′(a)⋅a,f(a) = f'(a) \cdot a + b \quad \rightarrow \quad b = f(a) - f'(a) \cdot a \text,

és mivel

(a;f(a))∈y=m⋅x+b↓y=f′(a)⋅x+f(a)−f′(a)⋅a\begin{gathered} (a; f(a)) \in y = m \cdot x + b \\ \downarrow \\ y = f'(a) \cdot x + f(a) - f'(a) \cdot a \end{gathered}

Ebből átalakítva:

y=f′(a)⋅(x−a)+f(a).\boxed{ y = f'(a)\cdot (x-a) + f(a) \text. }

Az (a;f(a))(a; f(a)) pontbeli normális egyenlete:

M=−1f′(a),eˊs(a;f(a))∈Y=M⋅X+B,y=−1f′(a)⋅(x−a)+f(a).\begin{gathered} M = \frac{-1}{f'(a)} \text, \quad \text{és} \quad (a; f(a)) \in Y = M \cdot X + B \text, \\ \boxed{ y = \frac{-1}{f'(a)} \cdot (x-a) + f(a) \text. } \end{gathered}

Definíció 6.3 [ Derivált ]

Legyen f:I⊂R→Rf : I \subset \Reals \rightarrow \Reals értelmezve aa pontban és annak egy környezetében. Ekkor ff-t differenciálhatónak mondjuk aa pontban, ha ∃A∈R\exists A \in \Reals és ε:R→R\varepsilon : \Reals \rightarrow \Reals függvény, melyre

lim⁡x→aε(x)=0, hogy f(x)−f(a)=A⋅(x−a)+ε(x)⋅(x−a).\lim\limits_{x\to a} \varepsilon(x) = 0 \text{, hogy } f(x) - f(a) = A \cdot (x-a) + \varepsilon(x)\cdot (x-a) \text.

Definíció 6.4 [ Jobboldali derivált ]

Legyen f:[a;b]→Rf:[a; b] \rightarrow \Reals, ekkor a

lim⁡+x→a+f(x)−f(a)x−a\lim_{\phantom{{}^{+}}x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}

határértékét, ha létezik és véges, az ff függvény aa pontbeli jobboldali deriváltjának mondjuk.

Definíció 6.5 [ Baloldali derivált ]

Legyen f:[a;b]→Rf:[a; b] \rightarrow \Reals, ekkor a

lim⁡−x→a−f(x)−f(a)x−a\lim_{\phantom{{}^{-}}x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}

határértékét, ha létezik és véges, az ff függvény aa pontbeli baloldali deriváltjának mondjuk.

Megjegyzés

Az f:I⊂R→Rf: I\subset \Reals \rightarrow \Reals függvény az x0∈Ix_0\in I pontban differenciálható ⇔\Leftrightarrow, ha ott balról és jobbról is differenciálható és a bal és jobb oldali deriváltak egyenlőek.

Példa

f(x)=∣x∣f(x) = \lvert x \rvert függvény az x=0x = 0 pontban:

lim⁡+x→0+f(x)=x−0x−0=1eˊslim⁡+x→0−f(x)=−x−0x−0=−1.\lim_{\phantom{{}^{+}}x \to 0^+} f(x) = \frac{x-0}{x-0} = 1 \quad \text{és} \quad \lim_{\phantom{{}^{+}}x \to 0^-} f(x) = \frac{-x-0}{x-0} = -1 \text.

A két derivált nem egyezik meg, tehát az x=0x = 0 pontban a függvény nem deriválható. A folytonosság szükséges, de nem elégséges feltétele a differenciálhatóságnak.

Tétel 6.1

Ha az ff függvény differenciálható egy adott pontban, akkot ott folytonos is.

Definíció 6.6 [ Függvény differenciálhatósága nyílt intervallumon ]

Az ff függvény differenciálható az (a;b)(a; b) intervallumon, ha annak minden pontjában differenciálható.

Definíció 6.7 [ Függvény differenciálhatósága zárt intervallumon ]

Az ff függvény differenciálható az [a;b][a; b] intervallumon, ha differenciálható az (a;b)(a; b) intervallumon, továbbá jobbról differenciálható aa-ban és balról differenciálható bb-ben.

Definíció 6.8 [ Differenciálhányados függvény ]

Az ff függvény differenciahányados függvényének nevezzük és f′f'-vel jelöljük azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya azon pontok halmaza, ahol ff differenciálható és ∀x∈Df′\forall x \in \Domain_{f'} esetén a függvényérték f′(x)f'(x).

Definíció 6.9 [ Másodrendű derivált ]

Ha az f′f' függvény differenciálható az x0x_0 helyen, akkor a derivált az ff függvény x0x_0 pontbeli másodrendű deriváltjának nevezzük, jele:

 ⁣d[ ⁣dorder=2]f(x0)xvagyf′′(x0).\odv[order = 2]{f(x_0)}{x} \quad\text{vagy}\quad f''(x_0) \text.

Ha f′′(x0)f''(x_0) létezik, akkor azt is mondjuk, hogy ff kétszer differenciálható x0x_0-ban.

Megjegyzés

Hasonlóan értelmezhetőek a többedrendű deriváltakat is. Harmadik derivált utána jelölés f(k)f^{(k)}.

Példa

Példák függvények deriváltjára:

  1. f(x)=xcxn→lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0=lim⁡x→x0x−x0x−x0=1f(x) = x \phantom{cx^n}\rightarrow\quad \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \dfrac{x-x_0}{x-x_0} = 1,

  2. f(x)=xncx→lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0=lim⁡x→x0xn−x0nx−x0=f(x) = x^n \phantom{cx}\rightarrow\quad \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \dfrac{x^n-x_0^n}{x-x_0} =
    f(x)=cxxn→lim⁡x→x0(x−x0)(xn−1+xn−2x0+…+x0n−1)x−x0=\phantom{f(x) = cxx^n\rightarrow\quad} \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \dfrac{(x-x_0)(x^{n-1}+x^{n-2}x_0+\ldots+x_0^{n-1})}{x-x_0} =
    f(x)=cxxn→lim⁡x→x0xn−1+xn−2x0+…+x0n−1⏟n darab=n⋅x0n−1\phantom{f(x) = cxx^n\rightarrow\quad} \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \underbrace{x^{n-1}+x^{n-2}x_0+\ldots+x_0^{n-1}}_{n\text{ darab}} = n\cdot x_0^{n-1}.

Állítás

Függvény konstansszorosának deriváltja

Legyen f:I⊂R→Rf: I \subset \Reals \rightarrow \Reals differenciálható az x0x_0 pontban, ekkor c⋅fc\cdot f is differenciálható x0x_0-ban és

(c⋅f(x0))′=c⋅f′(x0), ahol c∈R.(c \cdot f(x_0))' = c\cdot f'(x_0) \text{, ahol } c \in \Reals \text.

Állítás

Összegfüggvény deriváltja

Legyenek ff és gg differenciálható az x0∈Df∩Dgx_0 \in \Domain_f \cap \Domain_g pontban, ekkor f+gf + g is differenciálható x0x_0-ban és

(f+g)′(x0)=f′(x0)+g′(x0).(f+g)'(x_0) = f'(x_0)+ g'(x_0) \text.

Állítás

Szorzatfüggvény deriváltja

Legyenek ff és gg differenciálható az x0∈Df∩Dgx_0 \in \Domain_f \cap \Domain_g pontban, ekkor f⋅gf \cdot g is differenciálható x0x_0-ban és

(f⋅g)′(x0)=f′(x0)⋅g(x0)+f(x0)⋅g′(x0).(f\cdot g)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g(x_0) + f(x_0)\cdot g'(x_0) \text.

Állítás

Hányadosfüggvény deriváltja

Legyenek ff és gg differenciálható az x0∈Df∩Dgx_0 \in \Domain_f \cap \Domain_g pontban, ekkor f/gf/g is differenciálható x0x_0-ban és:

f′g′(x0)=f′(x0)⋅g(x0)−f(x0)⋅g′(x0)(g(x0))2.\frac{f'}{g'}(x_0) = \frac{ f'(x_0)\cdot g(x_0) - f(x_0)\cdot g'(x_0) }{ (g(x_0))^2 } \text.

Állítás

Láncszabály

Legyen ff differenciálható az x0∈Dfx_0 \in \Domain_f pontban és gg differenciálható az f(x0)∈Dgf(x_0)\in \Domain_g pontban, ekkor f∘gf \circ g is differenciálható x0x_0-ban és:

(g∘f(x0))′=g′(f(x0))⋅f′(x0).(g \circ f(x_0))' = g'(f(x_0))\cdot f'(x_0) \text.

Definíció 6.10 [ Inverz függvény ]

Legyen f:I⊂R→J⊂Rf: I \subset \Reals \rightarrow J \subset \Reals és J:=f(I)J:= f(I), kölcsönösen egyértelmű leképezése II-nek ff-re, ekkore az f−1:J→If^{-1} : J \rightarrow I függvényt ff inverzének hívjuk, ha ∀y∈J\forall y \in J esetén ∃x∈I\exists x \in I, hogy y=f(x)y = f(x).

A függvény és inverze ellentétes irányú megfeleltetést ad ugyanazon két halmaz között:

I→  f  J,J→  f−1  I,f−1(f(x))=x. I \xrightarrow{\;f\;} J, \qquad J \xrightarrow{\;f^{-1}\;} I, \qquad f^{-1}(f(x))=x.

Tétel 6.2

Legyen f:[a;b]→Rf: [a;b] \rightarrow \Reals szigorúan monoton, folytonos függvény [a;b][a;b] intervallumon, ekkor teljesülnek az alábbiak:

  • ff értékkészlete:

    • [f(a),f(b)][f(a), f(b)], ha szigorúan monoton növekvő,

    • [f(a),f(b)][f(a), f(b)], ha szigorúan monoton csökkenő.

  • ff invertálható.

  • ff inverze is szogorúan monoton, éppen olyan értelemben, ahogyan ff.

  • az f−1f^{-1} folytonos [f(a),f(b)][f(a), f(b)]-n vagy [f(b),f(a)][f(b), f(a)]-n.

Állítás

Inverz függvény deriválási szabály: Legyen f:I⊂R→Rf: I \subset \Reals \rightarrow \Reals szigorúan monoton és folytonos az x0x_0 pont egy környezetében, továbbá f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0, ekkor ff inverze is differenciálható a b=f(x0)b = f(x_0) pontban és:

(f−1(b))′=1f′(x0)(f^{-1}(b))' = \frac{1}{f'(x_0)}
Előző oldalDifferenciálszámításKövetkező oldalNevezetes függvények deriváltjai