5.2Függvények határértéke

Definíció 5.2 [ Függvény határértéke ]

Azt mondjuk, hogy az ff függvény határértéke az aa pontban AA, ha ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 esetén ∃δ(ε)>0\exists \delta(\varepsilon) > 0, hogy ∣f(x)−A∣<ε|f(x) - A| < \varepsilon, ha 0<∣x−a∣<δ(ε)0 < |x - a| < \delta(\varepsilon). Jele:

lim⁡x→af(x)=A.\lim_{x \rightarrow a} f(x) = A \text.

Tétel 5.1 [ Átviteli elv ]

Az ff függvény határértéke az aa pontban akkor és csak akkor AA, ha ∀xn→a\forall x_n \rightarrow a sorozat esetén f(xn)→Af(x_n) \rightarrow A.

Tétel 5.2

Legyen az ff függvény határértéke az a∈Df∩Dga \in \Domain_f \cap \Domain_g pontban AA, a gg függvény aa pontbeli határértéke pedig BB. Ekkor:

  • lim⁡x→af(x)+g(x)=A+B\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x) + g(x) = A + B,

  • lim⁡x→af(x)⋅g(x)=A⋅B\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x) \cdot g(x) = A \cdot B,

  • lim⁡x→af(x)g(x)=AB\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}, ha B≠0B \neq 0.

Definíció 5.3 [ Baloldali határérték ]

Azt mondjuk, hogy az ff függvény baloldali határértéke az aa pontban AA, ha ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 esetén ∃δ(ε)>0\exists \delta(\varepsilon) > 0, hogy ∣f(x)−A∣<ε|f(x) - A| < \varepsilon, ha 0<a−x<δ(ε)0 < a - x < \delta(\varepsilon). Jele:

lim⁡−x→a−f(x)=A.\lim_{\phantom{{}^-}x \rightarrow a^-} f(x) = A \text.

Definíció 5.4 [ Jobboldali határérték ]

Azt mondjuk, hogy az ff függvény jobboldali határértéke az aa pontban AA, ha ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 esetén ∃δ(ε)>0\exists \delta(\varepsilon) > 0, hogy ∣f(x)−A∣<ε|f(x) - A| < \varepsilon, ha 0<x−a<δ(ε)0 < x - a < \delta(\varepsilon). Jele:

lim⁡+x→a+f(x)=A.\lim_{\phantom{{}^+}x \rightarrow a^+} f(x) = A \text.

Tétel 5.3

Az ff függvény határértéke az aa pontban, akkor és csak akkor AA, ha

lim⁡−x→a−f(x)=Aeˊslim⁡+x→a+f(x)=A.\lim_{\phantom{{}^-}x \rightarrow a^-} f(x) = A \quad\text{és}\quad \lim_{\phantom{{}^+}x \rightarrow a^+} f(x) = A \text.

Definíció 5.5

  • Az ff függvény határértéke a +∞+\infty-ben AA, ha ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 esetén ∃δ(ε)>0\exists \delta(\varepsilon) > 0,
    hogy ∣f(x)−A∣<ε|f(x) - A| < \varepsilon, ha x>δ(ε)x > \delta(\varepsilon).

  • Az ff függvény határértéke a −∞-\infty-ben AA, ha ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 esetén ∃δ(ε)>0\exists \delta(\varepsilon) > 0,
    hogy ∣f(x)−A∣<ε|f(x) - A| < \varepsilon, ha x<δ(ε)x < \delta(\varepsilon).

  • Az ff függvény határértéke a aa-ban +∞+\infty, ha ∀N\forall N esetén ∃δ(N)>0\exists \delta(N) > 0, hogy f(x)>Nf(x) > N, ha 0<∣x−a∣<δ(N)0 < |x - a| < \delta(N).

  • Az ff függvény határértéke a aa-ban −∞-\infty, ha ∀N\forall N esetén ∃δ(N)>0\exists \delta(N) > 0, hogy f(x)<Nf(x) < N, ha 0<∣x−a∣<δ(N)0 < |x - a| < \delta(N).

Állítás

Legyen az ff függvény határértéke az a∈Dfa \in \Domain_f pontban AA, a gg függvény a∈Dga \in \Domain_g pontbeli határértéke pedig BB. Az aa pont egy x≠ax \neq a környezetében pedig g(x)≠Ag(x) \neq A. Ekkor:

lim⁡x→a(g∘f)(x)=B.\lim_{x \rightarrow a} (g \circ f)(x) = B \text.
Előző oldalAlapfogalmakKövetkező oldalFolytonosság