1.3A számfogalom kiépítése

Peano axiómák

Legyen $\mathbb N \neq \emptyset$, $\mathbb N$-t a természetes számok halmazának, elemeit természetes számoknak mondjuk, ha teljesülnek az alábbiak:

1. legyen adva egy $\varphi : \mathbb N \rightarrow \mathbb N$ leképezés,
2. $\varphi$ injektív : $\varphi(a) = \varphi(b) \Rightarrow a = b$,
3. $\exists$ $\mathbb N$-nek egy kitüntetett eleme, ez a $0$,
4. a $0$-nak nincs ősképe, azaz $\nexists n \in \mathbb N : \varphi(n) = 0$,
5. a teljes indukció elve teljesül, azaz ha $H \subseteq \mathbb N$ és
   1. $0 \in H$,
   2. $n \in H \Rightarrow \varphi(n) \in H$,
   akkor $H = \mathbb N$.

Természetes számok halmazának bővítése

A természetes számok halmazát ekvivalenciarelációkkal ellátva megkapjuk a középiskolában megismert számhalmazokat:

• $\mathbb Z$ : az egész számok halmaza ($\mathbb N \times \mathbb N$),
• $\mathbb Q$ : a racionális számok halmaza ($\mathbb Z \times \mathbb Z$),
• $\mathbb Q^*$ : az irracionális számok halmaza,
• $\Reals$ : a valós számok halmaza ($\mathbb Q \cup \mathbb Q^*$).

TODO: Tikz picture

A valós számok axiómarendszere

Értelmezzük két bináris műveletet, az összeadást ($+$) és a szorzást ($\cdot$), valamint egy relációt ($>$).

1	$a + b = b + 1$	a $+$ kommutatív
2	$a + (b + c) = (a + b) + c$	a $+$ asszociatív
3	$!\exists 0 \in \Reals : a + 0 = a$	a $+$ egységelem
4	$\forall a \in \Reals : \exists -a \in \Reals : a + (-a) = 0$	a $+$ inverz elem
5	$a \cdot b = b \cdot a$	$\cdot$ kommutatív
6	$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$	$\cdot$ asszociatív
7	$!\exists 1 \in \Reals : a \cdot 1 = a$	$\cdot$ egységelem
8	$\forall a \in \Reals \setminus \{0\} : \exists a^{-1} \in \Reals : a \cdot a^{-1} = 1$	$\cdot$ inverz elem
9	$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$	disztributivitás
10	$\forall a, b \in \Reals : a < b \vee a = b \vee b < a$	trichotómia
11	$\forall a, b, c \in \Reals : a < b \land b < c \Rightarrow a < c$	$<$ tranzitivitás
12	$\forall a, b, c \in \Reals : a < b \Rightarrow a + c < b + c$	$+$ monotonitás???
13	$\forall a, b, c \in \Reals : a < b \land 0 < c \Rightarrow a \cdot c < b \cdot c$	$\cdot$ monotonitás???
14	$\forall a \in \Reals : \exists b \in \mathbb N : a < b$	Arkhimédész-féle rendezés
15	$a_n \leq a_{n+1} \land b_n \geq b_{n+1}: \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} \left[ a_n; b_n \right] \neq \emptyset$	Cantor-axióma

• $2 - 4$: csoport,
• $1 - 4$: Abel-csoport,
• $1 - 9$: test,
• $1 - 13$: rendezett test,
• $1 - 14$: arkhimédészien rendezett test,
• $1 - 15$: teljes rendezett test.