1Halmazelmélet
Ebben a fejezetben a halmazelmélet alapfogalmaival ismerkedünk meg, áttekintjük, rendszerezzük és néhol kibővítjük mindazt, amit eddig a számokról középiskolában tanultunk.
A halmazok olyan objektumok gyűjteményei, amelyek egy közös tulajdonság vagy szabály alapján definiálhatók. A halmazelmélet lényegében a köztük lévő kapcsolatokkal foglalkozik és a matematikai érvelés sarokköveként szolgál, keretet adva a matematikai objektumok rendszerezéséhez és elemzéséhez.
Tanulmányozni fogjuk a számok különböző típusait: a természetes számokat, az egész számokat és a valós számokat, valamint azt, hogy ezek hogyan viszonyulnak egymáshoz.
A fejezetben olyan definíciók, tételek kerülnek ismertetésre, amelyek elengedhetetlenek a további matematikai tanulmányokhoz.
Ebben a fejezetben
Alapfogalmak, Alapműveletek
Alapfogalmak: axióma / posztulátum, definíció, nem definiált alapfogalom, állítás / tétel / lemma / segédtétel. A halmaz egy nem definiált alapfogalom: A halmazokat nagybetűvel jelöljük: $A$, $B$, ... Az elemeket kisbetűvel: $a$, $b$, ... Halmaz eleme jelöl
Relációk, leképezések, függvények
Az $A$ és $B$ halmazok Descartes-szorzatán az $A$ és $B$ halmaz elemeiből álló **összes rendezett elempár**ok halmazát értjük: $$ A \times B := \Big{; (a; b) ;\Big|; (a \in A) \land (b \in B) ;\Big} \text. $$ Legyen $A = \{1;2\}$ és $B = \{a;b\}$, ekk
A számfogalom kiépítése
Peano axiómák Legyen $\mathbb N \neq \emptyset$, $\mathbb N$-t a természetes számok halmazának, elemeit természetes számoknak mondjuk, ha teljesülnek az alábbiak: legyen adva egy $\varphi : \mathbb N \rightarrow \mathbb N$ leképezés, $\varphi$ injektív : $\va
A halmazok számossága
Ha két halmaz, $A$ és $B$ között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés hozható létre, akkor azt mondjuk, hogy a két halmaz számossága azonos. Jelölése: $\card A = \card B$. A számosság ekvivalenciareláció. Az $A$ halmaz véges, ha $\exists n \in \
Felkészülést segítő kérdések
Mikor mondjuk, hogy egy halmaz jól definiált? Válassza ki az alábbi halmazok közül azokat, amelyek jól definiáltak! A magas férfihallgatók, Azon valós számok, amelyek négyzet nem kisebb háromnál, A viharos erejű szelek, Poliéderek. Definiálja a következő f