6.3Középértéktételek

Tétel 6.3 [ Rolle-tétel ]

Legyen ff folytonos [a;b][a; b] intervallumon és differenciálható (a;b)(a; b) intervallumon, továbbá f(a)=f(b)=0f(a) = f(b) = 0, ekkor létezik ξ∈(a;b)\xi \in (a; b), melyre teljesül, hogy

f′(ξ)=0.f'(\xi) = 0 \text.

Bizonyítás

Tétel 6.4 [ Lagrange-féle középértéktétel ]

Legyen f:I⊂R→Rf : I \subset R \to R folytonos [a;b][a; b] intervallumon és differenciálható (a;b)(a; b) intervallumon, ekkor létezik olyan δ∈(a;b)\delta \in (a; b) hogy

f′(δ)=f(b)−f(a)b−a.f'(\delta) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \text.

Bizonyítás

Tétel 6.5

Ha ff folytonos [a;b][a; b] intervallumon és differenciálható (a;b)(a; b) intervallumon, továbbá ∀x∈(a;b)\forall x \in (a; b) esetén f′(x)=0f'(x) = 0, akkor f(x)=cf(x) = c (a függvény konstans).

Tétel 6.6

Ha ff és gg folytonos az [a;b][a; b] intervallumon és differenciálható a (a;b)(a; b) intervallumon, továbbá f′(x)=g′(x)  ∀x∈(a;b)f'(x) = g'(x) \; \forall x\in (a; b)-re, akkor

g(x)=f(x)+c.g(x) = f(x) +c \text.

Tétel 6.7 [ Cauchy-féle középértéktétel ]

Legyen ff és gg függvények folytonosak [a;b][a; b] intervallumon és differenciálhatóak (a;b)(a; b) intervallumon, valamint tegyük fel, hogy g′(x)≠0g'(x) \neq 0 bármely x∈(a;b)x \in (a; b) esetén. Ekkor létezik olyan η∈(a;b)\eta \in (a; b) hogy

f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(η)g′(η).\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\eta)}{g'(\eta)} \text.

Bizonyítás

Megjegyzés

g(x)=xg(x) = x választással speciális esetként visszakapjuk a Lagrange-féle középértéktételt.

Megjegyzés

A Cauchy-féle középértéktétel nem ekvivalens azzal, hogy külön-külön az ff és gg függvényekre alkalmazzuk a Lagrange-féle középértéktételt, majd vesszük ezek hányadosát.

Előző oldalNevezetes függvények deriváltjaiKövetkező oldalDifferenciálható függvények vizsgálata