7.1Határozatlan integrál

Definíció 7.1 [ Primitív függvény ]

Legyen f:I→Rf: I \rightarrow \Reals, ekkor az F:I→RF : I \rightarrow \Reals függvényt az ff függvény primitív függvényének nevezzük II-n, ha FF differenciálható II-n és F′(x)=f(x)∀x∈IF'(x) = f(x) \quad \forall x \in I.

Megjegyzés

Ha az FF függvény primitív függvénye az ff-nek, akkor G(x)=F(x)+CG(x) = F(x) + C ugyancsak primitív függvénye az ff-nek, ahol C∈RC \in \Reals.

Megjegyzés

Ha FF és GG is ff primitív függvényei, akkor ∃C∈R\exists C \in \Reals, hogy F(x)=G(x)+CF(x) = G(x) + C.

Definíció 7.2 [ Határozatlan integrál ]

Az ff primitív függvényeinek összességét ff határozatlan integráljának nevezzük az II-n. Jelölése:

∫f(x) ⁣dx=F(x)+C.\int f(x) \dd x = F(x) + C \text.

Az   1,  x,  ex,  ln⁡x,  sin⁡x,  arcsin⁡x  \; 1,\; x,\; e^x,\; \ln x,\; \sin x,\; \arcsin x \; függvényekből a négy alapművelet, az összetett függvényképzés és a nyílt halmazra való leszűkítés véges sokszori alkalmasával keletkező függvényeket elemi függvényeknek nevezzük.

A cos⁡x\cos x, tan⁡x\tan x, cot⁡x\cot x, sinh⁡x\sinh x, cosh⁡x\cosh x, tanh⁡x\tanh x, coth⁡x\coth x, arccos⁡x\arccos x, arctan⁡x\arctan x, arccot⁡x\arccot x, arccosh⁡x\arccosh x, arccosh⁡x\arccosh x, arctanh⁡x\arctanh x, arccoth⁡x\arccoth x, xαx^\alpha, polinom, racionális függvények elemi függvények.

A négy alapművelet, az összetett függvényképzés, a nyílt halmazra való leszűkítés megőrzi a differenciálhatóságot, tehát az elemi függvények az értelmezési tartományuk belső pontjában differenciálhatóak. A primitív függvények megkeresése azonban kivezet az elemi függvények köréből, ez indokolja az elemien integrálható függvények elnevezés bevezetését.

Elemien integrálható függvény olyan elemi függvény, amelynek primitív függvénye ugyancsak elemi függvény.

Elemien integrálható függvények például:

x2,1x+2,1x2+1.x^2 \text, \quad \frac{1}{x + 2} \text, \quad \frac{1}{x^2 + 1} \text.

Nem elemien integrálható függvény például:

e−x2,sin⁡xx,1ln⁡x.e^{-x^2} \text, \quad \frac{\sin x}{x} \text, \quad \frac{1}{\ln x} \text.
Előző oldalIntegrálszámításKövetkező oldalIntegrálási segédlet