3.1Fogalmak, definíciók

Definíció 3.1 [ Sorozat ]

A pozitív egész számok halmazán értelmezett an:N→Ra_n:\mathbb{N}\rightarrow \Reals függvényt valós sorozatnak hívjuk, az an:N→Ca_n:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{C} függvényt komplex sorozatnak nevezzük.

Definíció 3.2 [ Konvergencia ]

Az (an)(a_n) sorozatot konvergensnek mondjuk, ha ∃a∈R\exists a \in \Reals valós szám, hogy ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 esetén ∃N(ε)\exists N(\varepsilon) küszöbszám, hogy ∣an−a∣<ε|a_n - a| < \varepsilon, ha n>N(ε)n > N(\varepsilon). Jelölése:

lim⁡n→∞an=a, ahol a a sorozat hataˊreˊrteˊke.\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \text{, ahol $a$ a sorozat határértéke.}

Definíció 3.3 [ Divergencia ]

Az (an)(a_n) sorozatot divergensnek mondjuk, ha nem konvergens.

Megjegyzés

Egy konvergens sorozatnak pontosan egy határértéke van.

Megjegyzés

Szükséges és elégséges feltételek egy sorozat konvergenciájára.

Következmény: ha egy sorozatban véges sok elemet megváltoztatunk, vagy egy sorozathoz véges sok elemet hozzáveszünk, vagy belőle véges sok elemet elveszünk, akkor az sem a sorozat határértékét, sem a konvergenciáját nem változtatja meg.

Definíció 3.4 [ Sorozat korlátossága ]

  • Az (an)(a_n)-t alulról korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete alulról korlátos.

  • Az (an)(a_n)-t felülről korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete felülről korlátos.

  • Az (an)(a_n) sorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos.

Megjegyzés

Konvergens sorozat korlátos. (Az állítás megfordítása nem igaz.)

Definíció 3.5 [ Műveletek sorozatokkal ]

Legyenek (an)(a_n) és (bn)(b_n) sorozatok, λ∈R\lambda \in \Reals, ekkor:

  • (an)+(bn):=(an+bn)(a_n) + (b_n) := (a_n + b_n),

  • λ⋅(an):=(λ⋅an)\lambda \cdot (a_n) := (\lambda \cdot a_n),

  • (an)⋅(bn):=(an⋅bn)(a_n)\cdot (b_n):=(a_n\cdot b_n),

  • (an)/(bn)=(an/bn)(a_n) / (b_n) = (a_n / b_n), ha bn≠0b_n \neq 0.

Megjegyzés

Legyenek (an)(a_n) és (bn)(b_n) konvergens sorozatok an→aa_n \rightarrow a, bn→bb_n \rightarrow b, ha n→∞n \rightarrow \infty és legyen λ∈R{\lambda \in \Reals}, ekkor ezen sorozatok összege, számszorosa, szorzata és hányadosa is konvergens, és:

  • an+bn→a+ba_n + b_n \rightarrow{a + b},

  • λ⋅an→λ⋅a\lambda \cdot a_n \rightarrow \lambda \cdot a,

  • an⋅bn→a⋅ba_n \cdot b_n\rightarrow a \cdot b,

  • (an/bn)→(a/b)(a_n / b_n) \rightarrow (a / b), ha b≠0b \neq 0

Megjegyzés

Konvergens sorozat jeltartó, ha

lim⁡n→∞an=a≠0,\lim_{n \rightarrow\infty} a_n=a\neq 0 \text,

akkor ∃N0\exists N_0 index, hogy sgn⁡an=sgn⁡a\sgn a_n = \sgn a, ha n>N0n > N_0.

Következmény:

lim⁡n→∞an=a eˊs lim⁡n→∞bn=b eˊs an≥bn⇒a≥b,\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \text{ és } \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = b \text{ és } a_n \geq b_n \quad \Rightarrow \quad a \geq b \text,

azaz a határátmenet rendezéstartó.

Tétel 3.1 [ Rendőr tétel ]

Tegyük fel, hogy (an)(a_n), (bn)(b_n) és (xn)(x_n) sorozatokra teljesül, hogy an≤xn≤bn:∀na_n \leq x_n \leq b_n : \forall n-re vagy n>N0n > N_0, továbbá

lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn=a, ekkor:lim⁡n→∞xn=a.\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = a \text{, ekkor:} \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = a \text.

Megjegyzés

Ha (an)(a_n) és (bn)(b_n) sorozatok nullsorozatok, akkor a rendőr tételből következik, hogy szorzatuk is nullsorozat.

Megjegyzés

Ha (an)(a_n) sorozat konvergens és határértéke aa, akkor

lim⁡n→∞∣an∣=∣a∣.\lim\limits_{n \rightarrow \infty} |a_n|=|a| \text.

Visszafelé ez nem igaz (csak nullsorozatokra).

Definíció 3.6 [ Kibővített valós számok halmaza ]

Az Rb:=R∪{−∞;∞}\Reals_b := \Reals \cup \{-\infty; \infty\} halmazt kibővített valós számok halmazának nevezzük.

Definíció 3.7 [ Sorozat határértéke $\pm\infty$ ]

Azt mondjuk, hogy az (an)(a_n) határértéke ∞\infty, ha ∀K∈R\forall K \in \Reals esetén ∃NK\exists N_K : an>Ka_n > K, ha n>NKn > N_K.

Azt mondjuk, hogy az (an)(a_n) határértéke −∞-\infty, ha ∀K∈R\forall K \in \Reals esetén ∃NK\exists N_K : an<Ka_n < K, ha n>NKn > N_K.

Definíció 3.8 [ Sorozat monotonitása ]

Az (an)(a_n) sorozat monotonitása:

  • monoton növekvő, ha an≥an−1a_n \geq a_{n-1},

  • monoton csökkenő, ha an≤an−1a_n \leq a_{n-1},

  • szigorúan monoton növekvő, ha an>an−1a_n > a_{n-1},

  • szigorúan monoton csökkenő, ha an<an−1a_n < a_{n-1}.

Megjegyzés

Ha az (an)(a_n) monoton növekvő, akkor alulról korlátos, illetve ha monoton csökkenő, akkor felülről korlátos.

Állítás

  1. Monoton, korlátos sorozat konvergens.

  2. Monoton, nem korlátos sorozatnak van határértéke.

  3. Ha egy sorozat divergens, akkor vagy nem létezik a határértéke, vagy a határértéke ∞\infty vagy −∞-\infty.

Definíció 3.9 [ Részsorozat ]

!(kn)!(k_n) a természetes számok egy szigorúan növekvő sorozata és (an)(a_n) egy valós számsorozat, ekkor a bn=aknb_n = a_{k_n} sorozatot az ana_n sorozat knk_n indexsorozathoz tartozó részsorozatának nevezzük.

Tétel 3.2 [ Sorozat határértékének létezése ]

Ha az ana_n sorozatnak van határértéke, akkor bármely részsorozatának is van határértéke, és ez a két határérték megegyezik.

Tétel 3.3 [ Monoton részsorozat létezése ]

Bármely sorozatnak van monoton részsorozata.

Tétel 3.4 [ Bolzano--Weierstrass-tétel ]

Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Definíció 3.10 [ Limesz szuperior és inferior ]

Az (an)(a_n) sorozat limesz szuperiorjának nevezzük az alábbi mennyiséget:

lim⁡sup⁡an=lim⁡‾  an:=lim⁡n→∞sup⁡{  an+1;an+2;…  }.\lim \sup a_n = \overline{\lim} \; a_n := \lim_{n \rightarrow \infty} \sup \{\; a_{n + 1}; a_{n + 2}; \dots \;\} \text.

Az (an)(a_n) sorozat limesz inferiorjának nevezzük az alábbi mennyiséget:

lim⁡inf⁡an=lim⁡‾  an:=lim⁡n→∞inf⁡{  an+1;an+2;…  }.\lim \inf a_n = \underline{\lim} \; a_n := \lim_{n \rightarrow \infty} \inf \{\; a_{n + 1}; a_{n + 2}; \dots \;\} \text.

Definíció 3.11 [ Cauchy-sorozat ]

Az (an)(a_n) sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 esetén ∃N(ε)\exists N(\varepsilon), hogy ∣an−am∣<ε|a_n - a_m| < \varepsilon, ha n,m>N(ε)n, m > N(\varepsilon).

Tétel 3.5 [ Cauchy-féle konvergencia kritérium ]

Az (an)(a_n) konvergens ⇔\Leftrightarrow ha Cauchy-sorozat.

Előző oldalSorozatokKövetkező oldalNevezetes sorozatok