7.3 Helyettesítéses integrálás
A helyettesítéses integrálás módszerének bevezetéséhez tekintsük az alábbi példát:
∫ 2 x ⋅ ( x 2 + 1 ) 3 d x . \int 2x \cdot (x^2 + 1)^3 \dd x
\text. ∫ 2 x ⋅ ( x 2 + 1 ) 3 d x . Vegyük észre, hogy a zárójelben szereplő kifejezés deriváltja megjelenik a szorzatban. Vezessük be a t = x 2 + 1 t = x^2 + 1 t = x 2 + 1
d t d x = 2 x → d x = 1 2 x d t . \odv{t}{x} = 2x
\quad \rightarrow \quad
\dd x = \frac{1}{2x} \dd t
\text. d x d t = 2 x → d x = 2 x 1 d t . Helyettesítsük be a kifejezést:
∫ 2 x ⋅ ( x 2 + 1 ) 3 d x = ∫ 2 x ⋅ t 3 ⋅ 1 2 x d t = ∫ t 3 d t = t 4 4 + C = ( x 2 + 1 ) 4 4 + C . \int 2x \cdot (x^2 + 1)^3 \dd x
= \int 2x \cdot t^3 \cdot \frac{1}{2x} \dd t
= \int t^3 \dd t
= \frac{t^4}{4} + C
= \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C
\text. ∫ 2 x ⋅ ( x 2 + 1 ) 3 d x = ∫ 2 x ⋅ t 3 ⋅ 2 x 1 d t = ∫ t 3 d t = 4 t 4 + C = 4 ( x 2 + 1 ) 4 + C . Megjegyzés A helyettesítéses integrálás speciális esetei:
∫ f α ⋅ f ′ = f α + 1 α + 1 \displaystyle \int f^\alpha \cdot f' = \frac{f^{\alpha + 1}} {\alpha + 1} ∫ f α ⋅ f ′ = α + 1 f α + 1 α ≠ − 1 \alpha \neq -1 α = − 1
∫ f ′ f = ln ∣ f ∣ + C \displaystyle \int \frac{f'}{f} = \ln |f| + C ∫ f f ′ = ln ∣ f ∣ + C
∫ e f ⋅ f ′ = e f + C \displaystyle \int e^f \cdot f' = e^f + C ∫ e f ⋅ f ′ = e f + C
∫ ( f ∘ g ) ⋅ g ′ d x = ( ∫ f ) ∘ g \displaystyle \int (f \circ g) \cdot g' \dd x = \left( \int f \right) \circ g ∫ ( f ∘ g ) ⋅ g ′ d x = ( ∫ f ) ∘ g
Példa Integráljuk az alábbi kifejezést:
∫ 2 x x 2 + 1 d x . \int \frac{2x}{x^2 + 1} \dd x
\text. ∫ x 2 + 1 2 x d x . A nevezőben szereplő kifejezés deriváltja megegyezik a számlálóval, ezért az integrálás eredménye a következő:
∫ 2 x x 2 + 1 d x = ln ∣ x 2 + 1 ∣ + C . \int \frac{2x}{x^2 + 1} \dd x = \ln |x^2 + 1| + C
\text. ∫ x 2 + 1 2 x d x = ln ∣ x 2 + 1∣ + C . Ellenőrizzük az eredményt! Vezessük be a t = x 2 + 1 t = x^2 + 1 t = x 2 + 1
d t d x = 2 x → d x = 1 2 x d t . \odv{t}{x} = 2x
\quad \rightarrow \quad
\dd x = \frac{1}{2x} \dd t
\text. d x d t = 2 x → d x = 2 x 1 d t . Helyettesítsük be a kifejezést:
∫ 2 x x 2 + 1 d x = ∫ 1 t d t = ln ∣ t ∣ + C = ln ∣ x 2 + 1 ∣ + C . \int \frac{2x}{x^2 + 1} \dd x
= \int \frac{1}{t} \dd t
= \ln |t| + C
= \ln |x^2 + 1| + C
\text. ∫ x 2 + 1 2 x d x = ∫ t 1 d t = ln ∣ t ∣ + C = ln ∣ x 2 + 1∣ + C . A két eredmény megegyezik, tehát az integrálás helyes.
Példa Integráljuk az alábbi kifejezést:
∫ 6 x 2 ⋅ e x 3 d x . \int 6x^2 \cdot e^{x^3} \dd x
\text. ∫ 6 x 2 ⋅ e x 3 d x . Az exponenciális függvény kitevőjének a deriváltja megjelenik a szorzatban, ezért az integrálás eredménye a következő:
∫ 6 x 2 ⋅ e x 3 d x = 2 ∫ 3 x 2 ⋅ e x 3 d x = 2 e x 3 + C . \int 6x^2 \cdot e^{x^3} \dd x
= 2 \int 3x^2 \cdot e^{x^3} \dd x
= 2 e^{x^3} + C
\text. ∫ 6 x 2 ⋅ e x 3 d x = 2 ∫ 3 x 2 ⋅ e x 3 d x = 2 e x 3 + C . Ellenőrizzük az eredményt! Vezessük be a t = x 3 t = x^3 t = x 3
d t d x = 3 x 2 → d x = 1 3 x 2 d t . \odv{t}{x} = 3x^2
\quad \rightarrow \quad
\dd x = \frac{1}{3x^2} \dd t
\text. d x d t = 3 x 2 → d x = 3 x 2 1 d t . Helyettesítsük be a kifejezést:
∫ 6 x 2 ⋅ e x 3 d x = 2 ∫ 3 x 2 ⋅ e x 3 d x = 2 ∫ 3 x 2 ⋅ e t ⋅ 1 3 x 2 d t = 2 e t + C = 2 e x 3 + C . \int 6x^2 \cdot e^{x^3} \dd x
= 2 \int 3x^2 \cdot e^{x^3} \dd x
= 2 \int 3x^2 \cdot e^t \cdot \frac{1}{3x^2} \dd t
= 2 e^t + C
= 2 e^{x^3} + C
\text. ∫ 6 x 2 ⋅ e x 3 d x = 2 ∫ 3 x 2 ⋅ e x 3 d x = 2 ∫ 3 x 2 ⋅ e t ⋅ 3 x 2 1 d t = 2 e t + C = 2 e x 3 + C . A két eredmény megegyezik, tehát az integrálás helyes.
Példa Integráljuk az alábbi kifejezést:
∫ x ⋅ cos ( x 2 + 3 ) d x . \int x \cdot \cos (x^2 + 3) \dd x
\text. ∫ x ⋅ cos ( x 2 + 3 ) d x . A koszinusz argumentumának deriváltja megjelenik a szorzatban, ezért az integrálás eredménye a következő:
∫ x ⋅ cos ( x 2 + 3 ) d x = 1 2 ∫ 2 x ⋅ cos ( x 2 + 3 ) d x = 1 2 sin ( x 2 + 3 ) + C . \int x \cdot \cos (x^2 + 3) \dd x
= \frac{1}{2} \int 2x \cdot \cos (x^2 + 3) \dd x
= \frac{1}{2} \sin(x^2 + 3) + C
\text. ∫ x ⋅ cos ( x 2 + 3 ) d x = 2 1 ∫ 2 x ⋅ cos ( x 2 + 3 ) d x = 2 1 sin ( x 2 + 3 ) + C . Ellenőrizzük az eredményt! Vezessük be a t = x 2 + 3 t = x^2 + 3 t = x 2 + 3
d t d x = 2 x → d x = 1 2 x d t . \odv{t}{x} = 2x
\quad \rightarrow \quad
\dd x = \frac{1}{2x} \dd t
\text. d x d t = 2 x → d x = 2 x 1 d t . Helyettesítsük be a kifejezést:
∫ x ⋅ cos ( x 2 + 3 ) d x = ∫ x ⋅ cos t ⋅ 1 2 x d t = 1 2 ∫ cos t d t = 1 2 sin t + C = 1 2 sin ( x 2 + 3 ) + C . \int x \cdot \cos (x^2 + 3) \dd x
= \int x \cdot \cos t \cdot \frac{1}{2x} \dd t
= \frac{1}{2} \int \cos t \dd t
= \frac{1}{2} \sin t + C
= \frac{1}{2} \sin(x^2 + 3) + C
\text. ∫ x ⋅ cos ( x 2 + 3 ) d x = ∫ x ⋅ cos t ⋅ 2 x 1 d t = 2 1 ∫ cos t d t = 2 1 sin t + C = 2 1 sin ( x 2 + 3 ) + C . A két eredmény megegyezik, tehát az integrálás helyes.
Parciális integrálás
A parciális integrálás módszerének bevezetéséhez írjuk fel két függvény szorzatának deriváltját:
( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) . (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
\text. ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) . Integráljuk x x x
∫ ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) ′ d x = ∫ f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) d x + ∫ f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) d x . \int (f(x) \cdot g(x))' \dd x = \int f'(x) \cdot g(x) \dd x +
\int f(x) \cdot g'(x) \dd x
\text. ∫ ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) ′ d x = ∫ f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) d x + ∫ f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) d x . Az integrálás és a deriválás műveletei egymás inverzei, így az egyenlet bal oldala az alábbi alakot ölti:
f ( x ) ⋅ g ( x ) = ∫ f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) d x + ∫ f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) d x f(x) \cdot g(x) = \int f'(x) \cdot g(x) \dd x + \int f(x) \cdot g'(x) \dd x f ( x ) ⋅ g ( x ) = ∫ f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) d x + ∫ f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) d x Rendezzük át az egyenletet:
∫ f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) d x . \int f(x) \cdot g'(x) \dd x = f(x) g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \dd x
\text. ∫ f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) d x . Példa Integráljuk az f ( x ) = e 2 x ⋅ 3 x 2 f(x) = e^{2x} \cdot 3x^2 f ( x ) = e 2 x ⋅ 3 x 2 polinom és egy trigonometrikus függvény szorzataként áll elő, ezért célszerű a parciális integrálás módszerét alkalmazni.f f f g g g f f f f = 3 x 2 f = 3x^2 f = 3 x 2
f ( x ) = 3 x 2 , g ( x ) = e 2 x / 2 , f ′ ( x ) = 6 x , g ′ ( x ) = e 2 x . \begin{array}{cc}
f(x) = 3x^2 \text, &
g(x) = e^{2x} / 2 \text, \\
f'(x) = 6x \text, &
g'(x) = e^{2x} \text.
\end{array} f ( x ) = 3 x 2 , f ′ ( x ) = 6 x , g ( x ) = e 2 x /2 , g ′ ( x ) = e 2 x . Használjuk tehát a parciális integrálás képletét:
∫ e 2 x ⋅ 3 x 2 d x = 3 x 2 ⋅ e 2 x 2 − ∫ 6 x ⋅ e 2 x 2 d x = 3 x 2 e 2 x 2 − ∫ 3 x e 2 x d x . \int e^{2x} \cdot 3x^2 \dd x
= 3x^2 \cdot \frac{e^{2x}}{2}
- \int 6x \cdot \frac{e^{2x}}{2} \dd x
= \frac{3 x^2 e^{2x}}{2}
- \int 3x \, e^{2x} \dd x
\text. ∫ e 2 x ⋅ 3 x 2 d x = 3 x 2 ⋅ 2 e 2 x − ∫ 6 x ⋅ 2 e 2 x d x = 2 3 x 2 e 2 x − ∫ 3 x e 2 x d x . Az utolsó integrálásnál ismételjük meg a parciális integrálás módszerét:
f ( x ) = 3 x , g ( x ) = e 2 x / 2 , f ′ ( x ) = 3 , g ′ ( x ) = e 2 x . \begin{array}{cc}
f(x) = 3x \text, &
g(x) = e^{2x} / 2 \text, \\
f'(x) = 3 \text, &
g'(x) = e^{2x} \text. \\
\end{array} f ( x ) = 3 x , f ′ ( x ) = 3 , g ( x ) = e 2 x /2 , g ′ ( x ) = e 2 x . Használjuk ismét a tanult képletet:
∫ 3 x e 2 x d x = 3 x ⋅ e 2 x 2 − ∫ 3 ⋅ e 2 x 2 d x = 3 x e 2 x 2 − ∫ 3 e 2 x 2 d x = 3 x e 2 x 2 − 3 e 2 x 4 + C . \int 3x \, e^{2x} \dd x
= 3x \cdot \frac{e^{2x}}{2}
- \int 3 \cdot \frac{e^{2x}}{2} \dd x
= \frac{3 x e^{2x}}{2}
- \int \frac{3 e^{2x}}{2} \dd x
= \frac{3 x e^{2x}}{2}
- \frac{3 e^{2x}}{4}
+ C
\text. ∫ 3 x e 2 x d x = 3 x ⋅ 2 e 2 x − ∫ 3 ⋅ 2 e 2 x d x = 2 3 x e 2 x − ∫ 2 3 e 2 x d x = 2 3 x e 2 x − 4 3 e 2 x + C . A végeredmény tehát:
∫ e 2 x ⋅ 3 x 2 d x = 3 x 2 e 2 x 2 − 3 x e 2 x 2 + 3 e 2 x 4 + C . \int e^{2x} \cdot 3x^2 \dd x
= \frac{3 x^2 e^{2x}}{2}
- \frac{3 x e^{2x}}{2}
+ \frac{3 e^{2x}}{4}
+ C
\text. ∫ e 2 x ⋅ 3 x 2 d x = 2 3 x 2 e 2 x − 2 3 x e 2 x + 4 3 e 2 x + C . Táblázatos módszer
Exponenciális függvény és polinom szorzatának integrálását táblázatos módszerrel is elvégezhetjük. Integráljuk az f ( x ) = e 2 x ⋅ 3 x 2 f(x) = e^{2x} \cdot 3x^2 f ( x ) = e 2 x ⋅ 3 x 2
A táblázat első oszlopába írjuk be a polinom függvényt, majd ezt annyiszor deriváljuk, ameddig az el nem tűnik. Az exponenciális függvényt pedig pontosan ugyanennyiszer integráljuk.
D I (Left 1) 3 x 2 3x^2 3 x 2 (Right 1) e 2 x e^{2x} e 2 x (Left 2) 6 x 6x 6 x (Right 2) e 2 x / 2 e^{2x}/2 e 2 x /2 (Left 3) 6 6 6 (Right 3) e 2 x / 4 e^{2x}/4 e 2 x /4 (Left 4) 0 0 0 (Right 4) e 2 x / 8 e^{2x}/8 e 2 x /8
Az első oszlop első elemét szorozzuk össze a második oszlop második elemével, majd rendeljünk hozzá pozitív előjelet. Ezután az első oszlop második elemét szorozzuk össze a második oszlop harmadik elemével, majd rendeljünk hozzá negatív előjelet. Az első oszlop harmadik elemét pedig a második oszlop negyedik elemével szorozzuk össze, a szorzathoz most újra pozitív előjelet rendelünk. Az eredményeket összegezzük és hozzáadjuk a konstans tagot:
∫ e 2 x ⋅ 3 x 2 d x = 3 x 2 e 2 x 2 − 3 x e 2 x 2 + 3 e 2 x 4 + C . \int e^{2x} \cdot 3x^2 \dd x
= \frac{3 x^2 e^{2x}}{2}
- \frac{3 x e^{2x}}{2}
+ \frac{3 e^{2x}}{4}
+ C
\text. ∫ e 2 x ⋅ 3 x 2 d x = 2 3 x 2 e 2 x − 2 3 x e 2 x + 4 3 e 2 x + C . Példa Integráljuk az f ( x ) = ln x f(x) = \ln x f ( x ) = ln x
∫ ln x d x = ∫ 1 ⋅ ln x d x . \int \ln x \dd x = \int 1 \cdot \ln x \dd x
\text. ∫ ln x d x = ∫ 1 ⋅ ln x d x . Válasszuk meg f f f g ′ g' g ′
f ( x ) = ln x , g ( x ) = x , f ′ ( x ) = 1 / x , g ′ ( x ) = 1 . \begin{array}{ll}
f(x) = \ln x \text, &
g(x) = x \text, \\[2mm]
f'(x) = 1 / x \text, &
g'(x) = 1 \text. \\
\end{array} f ( x ) = ln x , f ′ ( x ) = 1/ x , g ( x ) = x , g ′ ( x ) = 1 . Végezzük el az integrálást:
∫ ln x d x = x ⋅ ln x − ∫ 1 x ⋅ x d x = x ⋅ ln x − x + C = x ⋅ ( ln x − 1 ) + C . \int \ln x \dd x
= x \cdot \ln x
- \int \frac1x \cdot x \dd x
= x \cdot \ln x - x + C
= x \cdot (\ln x - 1) + C
\text. ∫ ln x d x = x ⋅ ln x − ∫ x 1 ⋅ x d x = x ⋅ ln x − x + C = x ⋅ ( ln x − 1 ) + C . Példa Most integráljuk az f ( x ) = e 2 x ⋅ sin 3 x f(x) = e^{2x} \cdot \sin 3x f ( x ) = e 2 x ⋅ sin 3 x f f f g ′ g' g ′
f ( x ) = e 2 x , g ( x ) = − cos ( 3 x ) / 3 , f ′ ( x ) = 2 e 2 x , g ′ ( x ) = sin 3 x . \begin{array}{ll}
f(x) = e^{2x} \text, &
g(x) = - \cos (3x) / 3 \text, \\[2mm]
f'(x) = 2 e^{2x} \text, &
g'(x) = \sin 3x \text. \\
\end{array} f ( x ) = e 2 x , f ′ ( x ) = 2 e 2 x , g ( x ) = − cos ( 3 x ) /3 , g ′ ( x ) = sin 3 x . Helyettesítsük be a képletekbe:
I = ∫ e 2 x ⋅ sin 3 x d x = − e 2 x ⋅ cos 3 x 3 − ∫ − 2 e 2 x ⋅ cos 3 x 3 d x = − e 2 x ⋅ cos 3 x 3 + 2 3 ∫ e 2 x ⋅ cos 3 x d x ⏟ = : J = − e 2 x ⋅ cos 3 x 3 + 2 3 ⋅ J . \begin{aligned}
I = \int e^{2x} \cdot \sin 3x \dd x
& = \frac{-e^{2x} \cdot \cos 3x}{3}
- \int - \frac{2 e^{2x} \cdot \cos 3x}{3} \dd x
\\
& = \frac{-e^{2x} \cdot \cos 3x}{3}
+ \frac{2}{3} \underbrace{\int e^{2x} \cdot \cos 3x \dd x}_{=:J}
\\
& = \frac{-e^{2x} \cdot \cos 3x}{3}
+ \frac{2}{3} \cdot J
\text.
\end{aligned} I = ∫ e 2 x ⋅ sin 3 x d x = 3 − e 2 x ⋅ cos 3 x − ∫ − 3 2 e 2 x ⋅ cos 3 x d x = 3 − e 2 x ⋅ cos 3 x + 3 2 =: J ∫ e 2 x ⋅ cos 3 x d x = 3 − e 2 x ⋅ cos 3 x + 3 2 ⋅ J . Az utolsó integrálásnál ismételjük meg a parciális integrálás módszerét:
f ( x ) = e 2 x , g ( x ) = sin ( 3 x ) / 3 , f ′ ( x ) = 2 e 2 x , g ′ ( x ) = cos 3 x . \begin{array}{ll}
f(x) = e^{2x} \text, &
g(x) = \sin (3x) / 3 \text, \\
f'(x) = 2 e^{2x} \text, &
g'(x) = \cos 3x \text. \\
\end{array} f ( x ) = e 2 x , f ′ ( x ) = 2 e 2 x , g ( x ) = sin ( 3 x ) /3 , g ′ ( x ) = cos 3 x . Helyettesítsünk be ismét a parciális integrálás képletébe:
J = ∫ e 2 x ⋅ cos 3 x d x = e 2 x ⋅ sin 3 x 3 − ∫ 2 e 2 x ⋅ sin 3 x 3 d x = e 2 x ⋅ sin 3 x 3 − 2 3 ∫ e 2 x ⋅ sin 3 x d x ⏟ I = e 2 x ⋅ sin 3 x 3 − 2 3 ⋅ I . \begin{aligned}
J = \int e^{2x} \cdot \cos 3x \dd x
& = \frac{e^{2x} \cdot \sin 3x}{3}
- \int \frac{2 e^{2x} \cdot \sin 3x}{3} \dd x
\\
& = \frac{e^{2x} \cdot \sin 3x}{3}
- \frac{2}{3} \underbrace{\int e^{2x} \cdot \sin 3x \dd x}_{I}
\\
& = \frac{e^{2x} \cdot \sin 3x}{3}
- \frac{2}{3} \cdot I
\text.
\end{aligned} J = ∫ e 2 x ⋅ cos 3 x d x = 3 e 2 x ⋅ sin 3 x − ∫ 3 2 e 2 x ⋅ sin 3 x d x = 3 e 2 x ⋅ sin 3 x − 3 2 I ∫ e 2 x ⋅ sin 3 x d x = 3 e 2 x ⋅ sin 3 x − 3 2 ⋅ I . Az integrálok alapján egy két ismeretlent tartalmazó egyenletrendszer írható fel:
I = − e 2 x ⋅ cos 3 x 3 + 2 3 ⋅ J J = + e 2 x ⋅ sin 3 x 3 − 2 3 ⋅ I , \; I = \dfrac{-e^{2x} \cdot \cos 3x}{3}
+ \dfrac{2}{3} \cdot J
\; J = \dfrac{+e^{2x} \cdot \sin 3x}{3}
- \dfrac{2}{3} \cdot I
\text, I = 3 − e 2 x ⋅ cos 3 x + 3 2 ⋅ J J = 3 + e 2 x ⋅ sin 3 x − 3 2 ⋅ I , ebből pedig
I = − e 2 x ⋅ cos 3 x 3 + 2 3 ⋅ ( e 2 x ⋅ sin 3 x 3 − 2 3 ⋅ I ) . I = \frac{-e^{2x} \cdot \cos 3x}{3}
+ \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{e^{2x} \cdot \sin 3x}{3}
- \frac{2}{3} \cdot I \right)
\text. I = 3 − e 2 x ⋅ cos 3 x + 3 2 ⋅ ( 3 e 2 x ⋅ sin 3 x − 3 2 ⋅ I ) . Bontsuk fel a zárójeleket, és rendezzük az egyenletet:
I + 4 9 ⋅ I = 13 9 ⋅ I = − e 2 x ⋅ cos 3 x 3 + 2 e 2 x ⋅ sin 3 x 9 . I + \frac{4}{9} \cdot I
= \frac{13}{9} \cdot I
= \frac{-e^{2x} \cdot \cos 3x}{3}
+ \frac{2 e^{2x} \cdot \sin 3x}{9}
\text. I + 9 4 ⋅ I = 9 13 ⋅ I = 3 − e 2 x ⋅ cos 3 x + 9 2 e 2 x ⋅ sin 3 x . Ekkor
I = ∫ e 2 x sin 3 x d x = e 2 x ⋅ ( 2 sin 3 x − 3 cos 3 x ) 13 + C . I = \int e^{2x} \sin 3x \dd x
= \frac{e^{2x} \cdot (2 \sin 3x - 3 \cos 3x)}{13}
+ C
\text. I = ∫ e 2 x sin 3 x d x = 13 e 2 x ⋅ ( 2 sin 3 x − 3 cos 3 x ) + C . Racionális törtfüggvények integrálása
Egy racionális törtfüggvény polinomok hányadosaként áll elő. Általános alakja:
R ( x ) = P ( x ) Q ( x ) . R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}
\text. R ( x ) = Q ( x ) P ( x ) . Amennyiben a nevező fokszáma kisebb, mint a számlálóé, vagyis deg P ( x ) ≥ deg Q ( x ) {\deg P(x) \geq \deg Q(x)} deg P ( x ) ≥ deg Q ( x ) polinomosztás módszeréhez kell folyamodnunk, mely elvégzése után a törtfüggvény az alábbi alakot ölti:
R ( x ) = T ( x ) + S ( x ) Q ( x ) , R(x) = T(x) + \frac{S(x)}{Q(x)}
\text, R ( x ) = T ( x ) + Q ( x ) S ( x ) , hol T ( x ) T(x) T ( x ) S ( x ) S(x) S ( x ) Q ( x ) Q(x) Q ( x )
Ezután parciális törtekké bontjuk a S ( x ) / Q ( x ) S(x) / Q(x) S ( x ) / Q ( x ) T ( x ) T(x) T ( x )
Amennyiben a nevező fokszáma nagyobb, mint a számláló fokszáma, vagyis deg P ( x ) < deg Q ( x ) \deg P(x) < \deg Q(x) deg P ( x ) < deg Q ( x )
A parciális törtekre való bontáshoz az algebra alaptételét használjuk fel, miszerint bármely valós együtthatós polinom felbontható első és másodrendű kifejezések szorzatára, vagyis
p ( x ) = A ⋅ ∏ ( x − a i ) ⏟ val o ˊ s gy o ¨ k o ¨ k ⋅ ∏ ( x 2 + p i x + q i ) ⏟ komplex gy o ¨ k o ¨ k . p(x) = A
\cdot
\underbrace{\prod (x - a_i)}_{\text{valós gyökök}}
\cdot
\underbrace{\prod (x^2 + p_i x + q_i)}_{\text{komplex gyökök}}
\text. p ( x ) = A ⋅ val o ˊ s gy o ¨ k o ¨ k ∏ ( x − a i ) ⋅ komplex gy o ¨ k o ¨ k ∏ ( x 2 + p i x + q i ) . Példa Hozzuk R ( x ) = T ( x ) + S ( x ) / Q ( x ) R(x) = T(x) + S(x) / Q(x) R ( x ) = T ( x ) + S ( x ) / Q ( x ) deg S < deg Q \deg S < \deg Q deg S < deg Q R ( x ) = P ( x ) / Q ( x ) R(x) = P(x) / Q(x) R ( x ) = P ( x ) / Q ( x ) P ( x ) = x 3 − 12 x 2 − 42 {P(x)=x^3 - 12x^2 - 42} P ( x ) = x 3 − 12 x 2 − 42 Q ( x ) = x − 3 Q(x) = x - 3 Q ( x ) = x − 3
Végezzük el az alábbi polinomosztást:
x 2 ⋅ ( x − 3 ) → ( x 3 − 12 x 2 + 0 x 2 − 42 ) − ( x 3 − 3 x 2 + 0 x 2 + 0 x ) ÷ ( x − 3 ) = x 2 − 9 x − 27 . − 9 x ⋅ ( x − 3 ) → − 9 x 2 2 + 0 x − 42 − ( − 9 x 2 2 + 27 x + 0 2 ) − 27 ⋅ ( x − 3 ) → − 27 x − 42 − ( − 27 x + 81 ) − 123 \begin{array}{rrr}
\begin{array}{l}
\\{x^2} \cdot (x - 3) \rightarrow
\end{array}
&
\begin{array}{lrlll}
& (x^3 & -12x^2 & {+0x}\phantom2 & -42) \\
- & (x^3 & -3x^2 & {+0x}\phantom2 & {+0x}) \\ \hline
\end{array}
&
\begin{array}{llll}
\div & (x-3) & = &
{x^2}
{\;-\;9x}
{\;-\;27}
\text. \\\\
\end{array}
\\
\begin{array}{l}
\\{-9x} \cdot (x - 3) \rightarrow
\end{array}
&
\begin{array}{lrll}
& -9x^2\phantom2 & {+0x} & -42 \\
- & (-9x^2\phantom2 & +27x & {+0\phantom2}) \\ \hline
\end{array}
&
\\
\begin{array}{l}
\\{-27} \cdot (x - 3) \rightarrow
\end{array}
&
\begin{array}{lrl}
& -27x & -42 \\
- & (-27x & +81) \\ \hline
\end{array}
&
\\
&
-123
\end{array} x 2 ⋅ ( x − 3 ) → − 9 x ⋅ ( x − 3 ) → − 27 ⋅ ( x − 3 ) → − ( x 3 ( x 3 − 12 x 2 − 3 x 2 + 0 x 2 + 0 x 2 − 42 ) + 0 x ) − − 9 x 2 2 ( − 9 x 2 2 + 0 x + 27 x − 42 + 0 2 ) − − 27 x ( − 27 x − 42 + 81 ) − 123 ÷ ( x − 3 ) = x 2 − 9 x − 27 . Az eredmény tehát:
R ( x ) = x 2 − 9 x − 27 − 123 x − 3 . R(x) = x^2 - 9x - 27 - \frac{123}{x - 3}
\text. R ( x ) = x 2 − 9 x − 27 − x − 3 123 . Példa Integráljuk az előző feladatban szereplő R ( x ) R(x) R ( x )
∫ R ( x ) d x = ∫ ( x 2 − 9 x − 27 − 123 x − 3 ) d x = x 3 3 − 9 x 2 2 − 27 x − 123 ln ∣ x − 3 ∣ + C . \int R(x) \dd x
= \int \left( x^2 - 9x - 27 - \frac{123}{x - 3} \right) \dd x
= \frac{x^3}{3} - \frac{9x^2}{2} - 27x - 123 \ln |x - 3| + C
\text. ∫ R ( x ) d x = ∫ ( x 2 − 9 x − 27 − x − 3 123 ) d x = 3 x 3 − 2 9 x 2 − 27 x − 123 ln ∣ x − 3∣ + C . Parciális törtekre bontás a letakarós módszerrel
Amennyiben a nevező gyökei tisztán valósak, és nincsen többszörös gyök, akkor a parciális törtekre bontást a letakarós módszerrel is elvégezhetjük.
A racionális törtfüggvény eredeti alakja:
R ( x ) = P ( x ) Q ( x ) , ahol Q ( x ) = ∏ i = 1 n ( x − a i ) . R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}
\text{, ahol }
Q(x) = \prod_{i = 1}^n (x - a_i)
\text. R ( x ) = Q ( x ) P ( x ) , ahol Q ( x ) = i = 1 ∏ n ( x − a i ) . Az egyes gyökökhöz tartozó együtthatókat a következő módon határozhatjuk meg:
A i = lim x → a i ( x − a i ) P ( x ) Q ( x ) . A_i = \lim_{x \to a_i} (x - a_i) \frac{P(x)}{Q(x)}
\text. A i = x → a i lim ( x − a i ) Q ( x ) P ( x ) . Az együtthatók meghatározása után a racionális törtfüggvény az alábbi alakban írható fel:
R ( x ) = ∑ i = 1 n A i ( x − a i ) = A 1 ( x − a 1 ) + A 2 ( x − a 2 ) + … + A n ( x − a n ) . R(x)
= \sum_{i = 1}^n \frac{A_i}{(x - a_i)}
= \frac{A_1}{(x - a_1)} + \frac{A_2}{(x - a_2)} + \ldots + \frac{A_n}{(x - a_n)}
\text. R ( x ) = i = 1 ∑ n ( x − a i ) A i = ( x − a 1 ) A 1 + ( x − a 2 ) A 2 + … + ( x − a n ) A n . Vegyük például az alábbi racionális törtfüggvényt:
R ( x ) = 6 x 2 − 10 x + 2 x ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) . R(x) = \frac{6 x^2 - 10 x + 2}{x \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)}
\text. R ( x ) = x ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 6 x 2 − 10 x + 2 . A parciális törteket az alábbi alakban keressük:
R ( x ) = A a x a ⏟ a 0 = 0 + B x − 1 ⏟ a 1 = 1 + C x − 2 ⏟ a 2 = 2 . R(x)
= \underbrace{\frac{A}{\phantom{a}x\phantom{a}}}_{a_0 = 0}
+ \underbrace{\frac{B}{x - 1}}_{a_1 = 1}
+ \underbrace{\frac{C}{x - 2}}_{a_2 = 2}
\text. R ( x ) = a 0 = 0 a x a A + a 1 = 1 x − 1 B + a 2 = 2 x − 2 C . Az együtthatók a képlet alapján:
A 1 = lim x → 0 ( x − 0 ) 6 x 2 − 10 x + 2 x ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) = lim x → 0 6 x 2 − 10 x + 2 ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) = 1 , A 2 = lim x → 1 ( x − 1 ) 6 x 2 − 10 x + 2 x ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) = lim x → 1 6 x 2 − 10 x + 2 x ⋅ ( x − 2 ) = 2 , A 3 = lim x → 2 ( x − 2 ) 6 x 2 − 10 x + 2 x ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) = lim x → 2 6 x 2 − 10 x + 2 x ⋅ ( x − 1 ) = 3 . \begin{aligned}
A_1
& = \lim_{x \rightarrow 0}
(x - 0) \frac{6 x^2 - 10 x + 2}{x \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)}
= \lim_{x \rightarrow 0}
\frac{6 x^2 - 10 x + 2}{(x - 1) \cdot (x - 2)}
= 1
\text, \\[2mm]
A_2
& = \lim_{x \rightarrow 1}
(x - 1) \frac{6 x^2 - 10 x + 2}{x \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)}
= \lim_{x \rightarrow 1}
\frac{6 x^2 - 10 x + 2}{x \cdot (x - 2)}
= 2
\text, \\[2mm]
A_3
& = \lim_{x \rightarrow 2}
(x - 2) \frac{6 x^2 - 10 x + 2}{x \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)}
= \lim_{x \rightarrow 2}
\frac{6 x^2 - 10 x + 2}{x \cdot (x - 1)}
= 3
\text.
\end{aligned} A 1 A 2 A 3 = x → 0 lim ( x − 0 ) x ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 6 x 2 − 10 x + 2 = x → 0 lim ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 6 x 2 − 10 x + 2 = 1 , = x → 1 lim ( x − 1 ) x ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 6 x 2 − 10 x + 2 = x → 1 lim x ⋅ ( x − 2 ) 6 x 2 − 10 x + 2 = 2 , = x → 2 lim ( x − 2 ) x ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 6 x 2 − 10 x + 2 = x → 2 lim x ⋅ ( x − 1 ) 6 x 2 − 10 x + 2 = 3 . A kapott együtthatók alapján a racionális törtfüggvény parciális törtekké bontva:
R ( x ) = 1 x + 2 x − 1 + 3 x − 2 . R(x)
= \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x - 2}
\text. R ( x ) = x 1 + x − 1 2 + x − 2 3 . Ennek az integrálja:
∫ R ( x ) d x = ∫ ( 1 x + 2 x − 1 + 3 x − 2 ) d x = ln ∣ x ∣ + 2 ln ∣ x − 1 ∣ + 3 ln ∣ x − 2 ∣ + C . \int R(x) \dd x
= \int \left( \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x - 2} \right) \dd x
= \ln \lvert x \rvert + 2 \ln |x - 1| + 3 \ln |x - 2| + C
\text. ∫ R ( x ) d x = ∫ ( x 1 + x − 1 2 + x − 2 3 ) d x = ln ∣ x ∣ + 2 ln ∣ x − 1∣ + 3 ln ∣ x − 2∣ + C . Példa Integráljuk az alábbi törtfüggvényt:
R ( x ) = x − 2 ( 2 x − 1 ) 2 ( x − 1 ) . R(x) = \frac{x - 2}{(2x - 1)^2 (x - 1)}
\text. R ( x ) = ( 2 x − 1 ) 2 ( x − 1 ) x − 2 . A nevező fokszáma nagyobb, mint a számlálóé, ezért rögtön parciális törtekre bonthatjuk a függvényt. Mivel a nevezőben lévő ( 2 x − 1 ) (2x - 1) ( 2 x − 1 )
R ( x ) = x − 2 ( 2 x − 1 ) 2 ( x − 1 ) = A 2 x − 1 + B ( 2 x − 1 ) 2 + C x − 1 . R(x)
= \frac{x - 2}{(2x - 1)^2 (x - 1)}
= \frac{A}{2x - 1} + \frac{B}{(2x - 1)^2} + \frac{C}{x - 1}
\text. R ( x ) = ( 2 x − 1 ) 2 ( x − 1 ) x − 2 = 2 x − 1 A + ( 2 x − 1 ) 2 B + x − 1 C . A bal és jobb oldal egyenlőségéből következik, hogy:
x − 2 = A ( x − 1 ) ( 2 x − 1 ) + B ( x − 1 ) + C ( 2 x − 1 ) 2 = A ( 2 x 2 − 3 x + 1 ) + B ( x − 1 ) + C ( 4 x 2 − 4 x + 1 ) = ( 2 A + 4 C ) x 2 + ( − 3 A + B − 4 C ) x + ( A − B + C ) . \begin{aligned}
x - 2
& = A(x - 1)(2x - 1) + B(x - 1) + C(2x - 1)^2
\\
& = A(2 x^2 - 3 x + 1) + B(x - 1) + C (4x^2 - 4 x + 1)
\\
& = (2A + 4C) x^2 + (-3A + B - 4C) x + (A - B + C)
\text.
\end{aligned} x − 2 = A ( x − 1 ) ( 2 x − 1 ) + B ( x − 1 ) + C ( 2 x − 1 ) 2 = A ( 2 x 2 − 3 x + 1 ) + B ( x − 1 ) + C ( 4 x 2 − 4 x + 1 ) = ( 2 A + 4 C ) x 2 + ( − 3 A + B − 4 C ) x + ( A − B + C ) . Ezek alapján egy három ismeretlenes egyenletrendszer írható fel:
{ − 0 = 2 A + 4 C , − 1 = − 3 A + B − 4 C , − 2 = A − B + C . \begin{cases}
\phantom-0 = 2 A + 4 C \text, \\
\phantom-1 = -3A + B - 4C \text, \\
-2 = A - B + C \text.
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ − 0 = 2 A + 4 C , − 1 = − 3 A + B − 4 C , − 2 = A − B + C . Ebből C = − 1 C = -1 C = − 1 A = 2 A = 2 A = 2 B = 3 B = 3 B = 3
R ( x ) = 2 2 x − 1 + 3 ( 2 x − 1 ) 2 − 1 x − 1 R(x) = \frac{2}{2x - 1} + \frac{3}{(2x - 1)^2} - \frac{1}{x - 1} R ( x ) = 2 x − 1 2 + ( 2 x − 1 ) 2 3 − x − 1 1 A határozatlan integrálás megoldása tehát:
∫ R ( x ) d x = ln ∣ 2 x − 1 ∣ − 3 2 ( 2 x − 1 ) − ln ∣ x − 1 ∣ + C . \int R(x) \dd x
= \ln |2x - 1| - \frac{3}{2(2x - 1)} - \ln |x - 1| + C
\text. ∫ R ( x ) d x = ln ∣2 x − 1∣ − 2 ( 2 x − 1 ) 3 − ln ∣ x − 1∣ + C . Példa Integráljuk az alábbi törtfüggvényt:
R ( x ) = x 2 + 3 x + 1 x 2 − 4 . R(x) = \frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 - 4}
\text. R ( x ) = x 2 − 4 x 2 + 3 x + 1 . A nevező fokszáma megegyezik a számláló fokszámával, ezért a parciális törtekké való bontás előtt át kell alakítanunk a törtet:
R ( x ) = x 2 + 3 x + 1 x 2 − 4 = x 2 − 4 + 3 x + 5 x 2 − 4 = 1 + 3 x + 5 x 2 − 4 = 1 + 3 x + 5 ( x − 2 ) ( x + 2 ) . R(x)
= \frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 - 4}
= \frac{x^2 - 4 + 3x + 5}{x^2 - 4}
= 1 + \frac{3x + 5}{x^2 - 4}
= 1 + \frac{3x + 5}{(x - 2)(x + 2)}
\text. R ( x ) = x 2 − 4 x 2 + 3 x + 1 = x 2 − 4 x 2 − 4 + 3 x + 5 = 1 + x 2 − 4 3 x + 5 = 1 + ( x − 2 ) ( x + 2 ) 3 x + 5 . Határozzuk meg a parciális törteket:
3 x + 5 ( x − 2 ) ( x + 2 ) = A x − 2 + B x + 2 = A ( x + 2 ) + B ( x − 2 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) . \frac{3x + 5}{(x - 2)(x + 2)}
= \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}
= \frac{A(x + 2) + B(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}
\text. ( x − 2 ) ( x + 2 ) 3 x + 5 = x − 2 A + x + 2 B = ( x − 2 ) ( x + 2 ) A ( x + 2 ) + B ( x − 2 ) . A bal és jobb oldal egyenlőségéből következik, hogy:
3 x + 5 = A ( x + 2 ) + B ( x − 2 ) . 3x + 5 = A(x + 2) + B(x - 2)
\text. 3 x + 5 = A ( x + 2 ) + B ( x − 2 ) . Ezek alapján egy két ismeretlenes egyenletrendszer írható fel:
{ 3 = A + B , 5 = 2 A − 2 B . \begin{cases}
\;3 = A + B \text, \\
\;5 = 2A - 2B \text.
\end{cases} { 3 = A + B , 5 = 2 A − 2 B . Az egyenletrendszer megoldásából A = 11 / 4 A = 11/4 A = 11/4 B = 1 / 4 B = 1/4 B = 1/4
R ( x ) = 1 + 11 / 4 x − 2 + 1 / 4 x + 2 . R(x) = 1 + \frac{11/4}{x - 2} + \frac{1/4}{x + 2}
\text. R ( x ) = 1 + x − 2 11/4 + x + 2 1/4 . A határozatlan integrálás megoldása tehát:
∫ R ( x ) d x = x + 11 4 ln ∣ x − 2 ∣ + 1 4 ln ∣ x + 2 ∣ + C . \int R(x) \dd x
= x + \frac{11}{4} \ln |x - 2| + \frac{1}{4} \ln |x + 2| + C
\text. ∫ R ( x ) d x = x + 4 11 ln ∣ x − 2∣ + 4 1 ln ∣ x + 2∣ + C . Példa Bontsuk fel a következő racionális törtfüggvényt parciális törtekké, majd integráljuk az egyes tagokat:
R ( x ) = − 20 + 77 x − 57 x 2 + 21 x 3 − 3 x 4 x 5 − 13 x 4 + 73 x 3 − 193 x 2 + 232 x − 100 . R(x) = \frac{
-20 + 77 x - 57 x^2 + 21 x^3 - 3 x^4
}{
x^5 - 13 x^4 + 73 x^3 - 193 x^2 + 232 x - 100
}
\text. R ( x ) = x 5 − 13 x 4 + 73 x 3 − 193 x 2 + 232 x − 100 − 20 + 77 x − 57 x 2 + 21 x 3 − 3 x 4 . A nevezőben szereplő kifejezést már korábban felbontottuk:
R ( x ) = − 20 + 77 x − 57 x 2 + 21 x 3 − 3 x 4 ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 ⋅ ( x 2 − 6 x + 25 ) . R(x) = \frac{
-20 + 77 x - 57 x^2 + 21 x^3 - 3 x^4
}{
(x - 1) \cdot (x - 2)^2 \cdot (x^2 - 6x + 25)
}
\text. R ( x ) = ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 ⋅ ( x 2 − 6 x + 25 ) − 20 + 77 x − 57 x 2 + 21 x 3 − 3 x 4 . Írjuk fel paraméteresen a parciális törteket:
R ( x ) = A x − 1 + B x − 2 + C x + D ( x − 2 ) 2 + E x + F x 2 − 6 x + 25 . R(x)
= \frac{A}{x - 1}
+ \frac{B}{x - 2}
+ \frac{Cx + D}{(x - 2)^2}
+ \frac{Ex + F}{x^2 - 6x + 25}
\text. R ( x ) = x − 1 A + x − 2 B + ( x − 2 ) 2 C x + D + x 2 − 6 x + 25 E x + F . Ezek alapján:
− 20 + 77 x − 57 x 2 + 21 x 3 − 3 x 4 = A ⋅ ( x − 2 ) 3 ⋅ ( x 2 − 6 x + 25 ) + = + B ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 ⋅ ( x 2 − 6 x + 25 ) + = + ( C x + D ) ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x 2 − 6 x + 25 ) + = + ( E x + F ) ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 3 = A ( x 5 − 12 x 4 + 73 x 3 − 230 x 2 + 348 x − 200 ) = + B ( x 5 − 11 x 4 + 63 x 3 − 177 x 2 + 224 x − 100 ) = + C ( x 5 − 9 x 4 + 45 x 3 − 87 x 2 + 50 x ) = + D ( x 4 − 9 x 3 + 45 x 2 − 87 x + 50 ) = + E ( x 5 − 7 x 4 + 18 x 3 − 20 x 2 + 8 x ) = + F ( x 4 − 7 x 3 + 18 x 2 − 20 x + 8 ) \begin{aligned}
-20 + 77 x - 57 x^2 + 21 x^3 - 3 x^4
& = A \cdot (x - 2)^3 \cdot (x^2 - 6x + 25) +
\\
& \phantom= + B \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)^2 \cdot (x^2 - 6x + 25) +
\\
& \phantom= + (Cx + D) \cdot (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x^2 - 6x + 25) +
\\
& \phantom= + (Ex + F) \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)^3
\\[2mm]
& = A (x^5 - 12 x^4 + 73 x^3 - 230 x^2 + 348 x - 200)
\\
& \phantom= + B (x^5 - 11 x^4 + 63 x^3 - 177 x^2 + 224 x - 100)
\\
& \phantom= + C (x^5 - 9 x^4 + 45 x^3 - 87 x^2 + 50 x)
\\
& \phantom= + D (x^4 - 9 x^3 + 45 x^2 - 87 x + 50)
\\
& \phantom= + E (x^5 - 7 x^4 + 18 x^3 - 20 x^2 + 8 x)
\\
& \phantom= + F (x^4 - 7 x^3 + 18 x^2 - 20 x + 8)
\end{aligned} − 20 + 77 x − 57 x 2 + 21 x 3 − 3 x 4 = A ⋅ ( x − 2 ) 3 ⋅ ( x 2 − 6 x + 25 ) + = + B ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 ⋅ ( x 2 − 6 x + 25 ) + = + ( C x + D ) ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x 2 − 6 x + 25 ) + = + ( E x + F ) ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 3 = A ( x 5 − 12 x 4 + 73 x 3 − 230 x 2 + 348 x − 200 ) = + B ( x 5 − 11 x 4 + 63 x 3 − 177 x 2 + 224 x − 100 ) = + C ( x 5 − 9 x 4 + 45 x 3 − 87 x 2 + 50 x ) = + D ( x 4 − 9 x 3 + 45 x 2 − 87 x + 50 ) = + E ( x 5 − 7 x 4 + 18 x 3 − 20 x 2 + 8 x ) = + F ( x 4 − 7 x 3 + 18 x 2 − 20 x + 8 ) Az együtthatók összevetésével az alábbi egyenletrendszer írható fel:
\left\{
\begin{array}{lll>{\quad}l}
\phantom-0 & = & A + B + C + E & (x^5) \\
-3 & = & -12A - 11B - 9C + D - 7E + F & (x^4) \\
\phantom-21 & = & 73A + 63B + 45C -9D + 18E - 7F & (x^3) \\
-57 & = & -230A - 177B - 87C + 45D - 20E + 18F & (x^2) \\
\phantom-77 & = & 348A + 224B + 50C - 87D + 8E - 20F & (x^1) \\
-20 & = & -200A - 100B + 50D + 8F & (x^0)
\end{array}
\right. Az egyenletrendszer megoldásával az együtthatók értékei:
A = 1 , B = − 2 , C = 1 , D = 0 , E = − 3 , F = 5 . A = 1 \text, \quad
B = -2 \text, \quad
C = 1 \text, \quad
D = 0 \text, \quad
E = -3 \text, \quad
F = 5
\text. A = 1 , B = − 2 , C = 1 , D = 0 , E = − 3 , F = 5 . Az eredmény tehát:
R ( x ) = 1 x − 1 + − 2 x − 2 + x ( x − 2 ) 2 + − 3 x + 5 x 2 − 6 x + 25 . R(x) = \frac{1}{x - 1}
+ \frac{-2}{x - 2}
+ \frac{x}{(x - 2)^2}
+ \frac{-3x + 5}{x^2 - 6x + 25}
\text. R ( x ) = x − 1 1 + x − 2 − 2 + ( x − 2 ) 2 x + x 2 − 6 x + 25 − 3 x + 5 . Az egyes tagok integrálása:
∫ 1 x − 1 d x = ln ∣ x − 1 ∣ + C 1 ∫ − 2 x − 2 d x = − 2 ln ∣ x − 2 ∣ + C 2 ∫ x ( x − 2 ) 2 d x = ∫ t + 2 t 2 d t = ∫ 1 t + 2 t 2 d t = ln ∣ t ∣ − 2 t + C 3 = ln ∣ x − 2 ∣ − 2 x − 2 + C 3 ∫ − 3 x + 5 x 2 − 6 x + 25 d x = − 3 2 ∫ 2 x − 6 x 2 − 6 x + 25 d x − 4 ∫ 1 x 2 − 6 x + 25 d x = − 3 2 ln ∣ x 2 − 6 x + 25 ∣ − 4 ∫ 1 ( x − 3 ) 2 + 4 2 d x = − 3 2 ln ∣ x 2 − 6 x + 25 ∣ − arctan ( x − 3 4 ) + C 4 . \begin{aligned}
\int \frac{1}{x - 1} \dd x
& = \ln |x - 1| + C_1
\\
\int \frac{-2}{x - 2} \dd x
& = -2 \ln |x - 2| + C_2
\\
\int \frac{x}{(x - 2)^2} \dd x
& = \int \frac{t + 2}{t^2} \dd t
= \int \frac{1}{t} + \frac{2}{t^2} \dd t
\\
& = \ln |t| - \frac{2}{t} + C_3
= \ln |x - 2| - \frac{2}{x - 2} + C_3
\\
\int \frac{-3x + 5}{x^2 - 6x + 25} \dd x
& = - \frac{3}{2} \int \frac{2x - 6}{x^2 - 6x + 25} \dd x
- 4 \int \frac{1}{x^2 - 6x + 25} \dd x
\\
& = - \frac{3}{2} \ln |x^2 - 6x + 25|
- 4 \int \frac{1}{(x - 3)^2 + 4^2} \dd x
\\
& =
- \frac{3}{2} \ln |x^2 - 6x + 25|
- \arctan \left(\frac{x - 3}{4}\right) + C_4
\text.
\end{aligned} ∫ x − 1 1 d x ∫ x − 2 − 2 d x ∫ ( x − 2 ) 2 x d x ∫ x 2 − 6 x + 25 − 3 x + 5 d x = ln ∣ x − 1∣ + C 1 = − 2 ln ∣ x − 2∣ + C 2 = ∫ t 2 t + 2 d t = ∫ t 1 + t 2 2 d t = ln ∣ t ∣ − t 2 + C 3 = ln ∣ x − 2∣ − x − 2 2 + C 3 = − 2 3 ∫ x 2 − 6 x + 25 2 x − 6 d x − 4 ∫ x 2 − 6 x + 25 1 d x = − 2 3 ln ∣ x 2 − 6 x + 25∣ − 4 ∫ ( x − 3 ) 2 + 4 2 1 d x = − 2 3 ln ∣ x 2 − 6 x + 25∣ − arctan ( 4 x − 3 ) + C 4 . Trigonometrikus függvények integrálása
Trigonometrikus függvények integrálásakor a tanult trigonometrikus azonosságokat kell alkalmaznunk. Ezek közül a legfontosabbak:
1 = sin 2 x + cos 2 x , sin 2 x = 1 − cos 2 x 2 , cos 2 x = 1 + cos 2 x 2 , sin 2 x = 2 sin x cos x , cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x . \begin{aligned}
1 & = \sin^2 x + \cos^2 x \text, \\
\sin^2 x & = \frac{1 - \cos 2x}{2} \text, \\
\cos^2 x & = \frac{1 + \cos 2x}{2} \text, \\
\sin 2x & = 2 \sin x \cos x \text, \\
\cos 2x & = \cos^2 x - \sin^2 x \text.
\end{aligned} 1 sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x , = 2 1 − cos 2 x , = 2 1 + cos 2 x , = 2 sin x cos x , = cos 2 x − sin 2 x . Amennyiben a szögfüggvény fokszáma páros, akkor a függvényt a fenti trigonometrikus azonosságok segítségével át tudjuk alakítani.
Amennyiben a szögfüggvény fokszáma páratlan (2 k + 1 2k + 1 2 k + 1 2 k 2k 2 k 1 1 1
Példa Integráljuk a sin 2 x \sin^2 x sin 2 x
∫ sin 2 x d x = ∫ 1 − cos 2 x 2 d x = ∫ 1 2 − cos 2 x 2 d x = x 2 − sin 2 x 4 + C . \int \sin^2 x \dd x
= \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \dd x
= \int \frac{1}{2} - \frac{\cos 2x}{2} \dd x
= \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C
\text. ∫ sin 2 x d x = ∫ 2 1 − cos 2 x d x = ∫ 2 1 − 2 cos 2 x d x = 2 x − 4 sin 2 x + C . Példa Integráljuk a cos 4 x \cos^4 x cos 4 x
∫ cos 4 x d x = ∫ ( 1 + cos 2 x 2 ) 2 d x = ∫ 1 4 + cos 2 x 2 + cos 2 2 x 4 d x = ∫ 1 4 + cos 2 x 2 + 1 + cos 4 x 8 d x = ∫ 3 8 + cos 2 x 2 + cos 4 x 8 d x = 3 x 8 + sin 2 x 4 + sin 4 x 32 + C . \begin{aligned}
\int \cos^4 x \dd x
& = \int \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right)^2 \dd x
= \int \frac{1}{4} + \frac{\cos 2x}{2} + \frac{\cos^2 2x }{4} \dd x
\\
& = \int \frac{1}{4} + \frac{\cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{8} \dd x
= \int \frac{3}{8} + \frac{\cos 2x}{2} + \frac{\cos 4x}{8} \dd x
\\
& = \frac{3x}{8} + \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C
\text.
\end{aligned} ∫ cos 4 x d x = ∫ ( 2 1 + cos 2 x ) 2 d x = ∫ 4 1 + 2 cos 2 x + 4 cos 2 2 x d x = ∫ 4 1 + 2 cos 2 x + 8 1 + cos 4 x d x = ∫ 8 3 + 2 cos 2 x + 8 cos 4 x d x = 8 3 x + 4 sin 2 x + 32 sin 4 x + C . Példa Integráljuk az sin 7 x \sin^7 x sin 7 x
∫ sin 7 x d x = ∫ sin 6 x ⋅ sin x d x = ∫ ( sin 2 x ) 3 ⋅ sin x d x = ∫ ( 1 − cos 2 x ) 3 ⋅ sin x d x = ∫ ( 1 − 3 cos 2 x + 3 cos 4 x − cos 6 x ) ⋅ sin x d x = − cos x − cos 3 x − 3 cos 5 x 5 + cos 7 x 7 + C . \begin{aligned}
\int \sin^7 x \dd x
& = \int \sin^6 x \cdot \sin x \dd x
= \int (\sin^2 x)^3 \cdot \sin x \dd x
= \int (1 - \cos^2 x)^3 \cdot \sin x \dd x
\\
& = \int (1 - 3 \cos^2 x + 3 \cos^4 x - \cos^6 x) \cdot \sin x \dd x
\\
& = -\cos x - \cos^3 x - \frac{3\cos^5 x}{5} + \frac{\cos^7 x}{7} + C
\text.
\end{aligned} ∫ sin 7 x d x = ∫ sin 6 x ⋅ sin x d x = ∫ ( sin 2 x ) 3 ⋅ sin x d x = ∫ ( 1 − cos 2 x ) 3 ⋅ sin x d x = ∫ ( 1 − 3 cos 2 x + 3 cos 4 x − cos 6 x ) ⋅ sin x d x = − cos x − cos 3 x − 5 3 cos 5 x + 7 cos 7 x + C .