6.4Differenciálható függvények vizsgálata

Tétel 6.8

Ha f:I⊂R→Rf : I \subset \Reals \rightarrow \Reals differenciálható a J⊂IJ \subset I intervallumon, akkor ahhoz, hogy ff a JJ-n monoton növekvő legyen, szükséges és elégséges feltétel, hogy ∀x∈J\forall x \in J esetén f′(x)≥0f'(x)\geq 0 fennálljon.

Tétel 6.9

Ha f:I⊂R→Rf : I \subset \Reals \rightarrow \Reals differenciálható a J⊂IJ \subset I intervallumon, akkor ahhoz, hogy ff a JJ-n monoton csökkenő legyen, szükséges és elégséges feltétel, hogy ∀x∈J\forall x \in J esetén f′(x)≤0f'(x)\leq 0 fennálljon.

Megjegyzés

Ha f′(x)≥0f'(x) \geq 0 ∀x∈J\forall x \in J esetén és véges sok pont kivételével f′(x)≥0f'(x)\geq 0, akkor ff a JJ intervallumon szigorúan monoton növekvő.

Tétel 6.10

Ha ff a JJ intervallumon differenciálható, akkor ahhoz, hogy a JJ-n konvex legyen, szükséges és elégséges feltétel, hogy f′(x)f'(x) a JJ-n monoton növekvő legyen.

Tétel 6.11

Ha ff a JJ intervallumon differenciálható, akkor ahhoz, hogy a JJ-n konkáv legyen, szükséges és elégséges feltétel, hogy f′(x)f'(x) a JJ-n monoton csökkenő legyen.

Tétel 6.12

Ha ff a JJ-n kétszer differenciálható, akkor ahhoz, hogy itt konvex legyen, szükséges és elégséges feltétel, hogy f′′(x)≥0f''(x)\geq 0 ∀x∈J\forall x\in J.

Tétel 6.13

Ha ff a JJ-n kétszer differenciálható, akkor ahhoz, hogy itt konkáv legyen, szükséges és elégséges feltétel, hogy f′′(x)≤0f''(x)\leq 0 ∀x∈J\forall x\in J.

Tétel 6.14 [ Taylor-formula ]

Legyen ff [a;b][a; b] →R\rightarrow \Reals és nn természetes szám, tegyük fel, hogy f(n)f^{(n)} folytonos az [a;b][a; b] intervallumon és differenciálható az (a;b)(a; b) intervallumon, ekkor ∀x\forall x és α∈[a;b]\alpha \in [a; b] mellett ∃ξ\exists \xi xx és α\alpha között úgy, hogy

f(x)=∑k=0nf(k)(α)k!⋅(x−α)k+f(n+1)(ξ)(n+1)!⋅(x−α)n+1.f(x)=\sum\limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(\alpha)}{k!}\cdot (x-\alpha)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot (x-\alpha)^{n+1} \text.

Definíció 6.11 [ Szélsőérték számítás ]

Legyen ff I⊂R→RI \subset \Reals \rightarrow \Reals és a∈Ia\in I, azt mondjuk, hogy:

  • ff-nek aa pontban lokális

    • maximuma van, ha ∃δ>0\exists \delta>0, hogy f(x)≤f(a)f(x)\leq f(a), ha x∈K(a,δ)x\in K(a,\delta),

    • minimuma van, ha ∃δ>0\exists \delta>0, hogy f(x)≥f(a)f(x)\geq f(a), ha x∈K(a,δ)x\in K(a,\delta).

  • ff-nek aa pontban

    • szigorú lokális maximuma van, ha f(x)<f(a)f(x)<f(a),

    • szigorú lokális minimuma van, f(x)>f(a)f(x)>f(a).

  • ff-nek aa pontban

    • abszolút maximuma van, ha f(x)≤f(a)f(x)\leq f(a), ∀x∈I\forall x\in I,

    • abszolút minimuma van, ha f(x)≥f(a)f(x)\geq f(a), ∀x∈I\forall x\in I.

  • ff-nek aa pontban

    • szigorú abszolút maximuma van, ha f(x)<f(a)f(x)<f(a), ∀x∈I∖{a}\forall x\in I \setminus \{a\},

    • szigorú abszolút minimuma van, ha f(x)>f(a)f(x)>f(a), ∀x∈I∖{a}\forall x\in I \setminus \{a\}.

Megjegyzés

Zárt intervallumon valós értékű folytonos függvény felveszi a szuprémumát, illetve infimumát függvényértékként.

Tétel 6.15 [ Szélsőérték létezésének szükséges feltétele ]

Ha ff: I∈R→RI\in\Reals \rightarrow \Reals differenciálható II-n és ff-nek az α∈int⁡I\alpha \in \inner I pontban szélsőértéke van, akkor f′(α)=0f'(\alpha)=0.

Tétel 6.16 [ Szélsőérték létezésének elégséges feltétele ]

Ha f:I∈R→Rf: I \in\Reals \rightarrow \Reals differenciálható II-n és ff-nek az α∈int⁡I\alpha \in \inner I, akkor ha ∃r>0\exists r>0, hogy:

  • f′(x)≥0f'(x)\geq0, ha x∈(α−r;α)x\in (\alpha-r;\alpha) és f′(x)≤0f'(x)\leq0, ha x∈(α;α+r)x\in (\alpha;\alpha+r),
    akkor ff-nek lokális maximuma van α\alpha-ban,

  • f′(x)≤0f'(x)\leq0, ha x∈(α;α+r)x\in (\alpha;\alpha+r) és f′(x)≥0f'(x)\geq0, ha x∈(α−r;α)x\in (\alpha-r;\alpha),
    akkor ff-nek lokális minimuma van α\alpha-ban.

Tétel 6.17

Legyen ff [a;b]→R[a; b] \rightarrow \Reals aa-ban jobbról, bb-ben balról differenciálható függvény.

  • Ha f′(b)>0f'(b)>0, akkor ff-nek bb-ben szigorú helyi maximuma van.

  • Ha f′(b)<0f'(b)<0, akkor ff-nek bb-ben szigorú helyi minimuma van.

  • Ha f′(a)>0f'(a)>0, akkor ff-nek aa-ban szigorú helyi minimuma van.

  • Ha f′(a)<0f'(a)<0, akkor ff-nek aa-ban szigorú helyi maximuma van.

Tétel 6.18

Legyen f:I⊂R→Rf: I\subset \Reals \rightarrow \Reals, n>1n>1-szer differenciálható II-n, α∈int⁡I\alpha \in \inner I, ha

f′(α)=f′′(α)=⋯=f(n−1)(α)=0eˊsf(n)(α)≠0,f'(\alpha)=f''(\alpha)=\dots =f^{(n-1)} (\alpha)=0 \quad \text{és}\quad f^{(n)}(\alpha)\neq 0 \text,

akkor, ha

  • nn páratlan, akkor nincs szélsőérték α\alpha-ban,

  • nn páros, akkor van szélsőérték α\alpha-ban, és

    • f(n)(b)>0f^{(n)}(b)>0 esetén lokális minimuma van,

    • f(n)(b)<0f^{(n)}(b)<0 esetén lokális maximuma van.

Tétel 6.19

Legyen f:I⊂R→Rf: I\subset \Reals \rightarrow \Reals, n>1n>1-szer differenciálható az II-n, α∈int⁡I\alpha \in \inner I, valamint

f′(α)=f′′(α)=⋯=f(n−1)(α)=0eˊsf(n)(α)≠0,f'(\alpha)=f''(\alpha)=\dots =f^{(n-1)} (\alpha)=0 \quad \text{és}\quad f^{(n)}(\alpha)\neq 0 \text,

akkor, ha

  • f(n)(b)>0f^{(n)}(b)>0 és nn páratlan, akkor szigorú helyi maximuma van bb-ben,

  • f(n)(b)>0f^{(n)}(b)>0 és nn páros, akkor szigorú helyi minimuma van bb-ben.

Definíció 6.12

Legyen f:I→Rf : I \rightarrow \Reals és α∈int⁡I\alpha \in \inner I, α\alpha-t ff inflexiós pontjának mondjuk, ha ∃δ>0\exists \delta >0, hogy ff függvény (α,α+δ)(\alpha,\alpha+ \delta) intervallumon konvex és az (α−δ,α)(\alpha - \delta, \alpha) intervallumon konkáv, vagy ha (α,α+δ)(\alpha,\alpha+ \delta) intervallumon konkáv és az (α−δ,α)(\alpha - \delta,\alpha) intervallumon konvex.

Megjegyzés

Ha ff kétszer differenciálható és α\alpha inflexiós pont, akkor f′′(α)=0f''(\alpha)=0.

Definíció 6.13

Ha van olyan y=A⋅x+By=A\cdot x+B lineáris függvény, melyre

lim⁡x→∞f(x)−(A⋅x+B)=0, vagy lim⁡x→−∞f(x)−(A⋅x+B)=0,\lim\limits_{x \rightarrow \infty} f(x)-(A\cdot x+B)=0 \text{, vagy } \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)-(A\cdot x+B)=0 \text,

akkor az y=A⋅x+By=A\cdot x+B egyenest az ff függvény aszimptotájának nevezzük.

Megjegyzés

Aszimptota létezésének szükséges feltétele:

Ha ff-nek létezik a fenti definícióban szereplő aszimptotája, akkor

lim⁡x→∞f(x)x=A,vagylim⁡x→−∞f(x)x=A.(A∈R)\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=A \text, \quad\text{vagy}\quad \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}=A \text. \quad (A \in \Reals)

Megjegyzés

Aszimptota létezésének elégséges feltétele:

lim⁡x→∞(f(x)−A⋅x)  vagylim⁡x→∞(f(x)−A⋅x)\lim\limits_{x \rightarrow \infty} (f(x)-A\cdot x)\; \text{vagy} \lim\limits_{x \rightarrow \infty} (f(x)-A\cdot x)

határérték végessége, ami a BB értékét adja.

Tétel 6.20 [ L'Hôpital-szabály ]

Legyenek ff és gg differenciálhatóak az α∈Rb\alpha \in \Reals_b pont egy környezetében (α\alpha-ban nem szükségképpen), továbbá g(x)≠0g(x) \neq 0 és g′(x)≠0g'(x) \neq 0 és

lim⁡x→αf(x)=lim⁡x→αg(x)=0, vagylim⁡x→α∣f(x)∣=lim⁡x→α∣g(x)∣=∞,\lim\limits_{x \rightarrow \alpha} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow \alpha} g(x)=0 \text{, vagy} \lim\limits_{x \rightarrow \alpha} |f(x)|=\lim\limits_{x \rightarrow \alpha}|g(x)|=\infty \text,ekkor, halim⁡x→αf′(x)g′(x)=B, akkor lim⁡x→αf(x)g(x)=B.\text{ekkor, ha} \lim\limits_{x \rightarrow \alpha} \frac{f'(x)}{g'(x)}=B \text{, akkor } \lim\limits_{x \rightarrow \alpha} \frac{f(x)}{g(x)}=B \text.
Előző oldalKözépértéktételekKövetkező oldalFelkészülést segítő kérdések