1.2 Definíció 1.6 [ Descartes szorzat ] Az A A A B B B A A A B B B összes rendezett elempár ok halmazát értjük:
A × B : = { ( a ; b ) ∣ ( a ∈ A ) ∧ ( b ∈ B ) } . A \times B := \Big\{\;
(a; b) \;\Big|\; (a \in A) \land (b \in B)
\;\Big\}
\text. A × B := { ( a ; b ) ( a ∈ A ) ∧ ( b ∈ B ) } . Példa Legyen A = { 1 ; 2 } A = \{1;2\} A = { 1 ; 2 } B = { a ; b } B = \{a;b\} B = { a ; b } A × B A \times B A × B
A × B = { ( 1 ; a ) ; ( 1 ; b ) ; ( 2 ; a ) ; ( 2 ; b ) } . A \times B = \Big\{\;
(1; a); (1; b); (2; a); (2; b)
\;\Big\}
\text. A × B = { ( 1 ; a ) ; ( 1 ; b ) ; ( 2 ; a ) ; ( 2 ; b ) } . Definíció 1.7 [ Binér reláció ] Az A × B A \times B A × B T ⊂ A × B T \subset A \times B T ⊂ A × B A A A B B B ( a ; b ) ∈ T (a; b) \in T ( a ; b ) ∈ T a a a b b b a T b aTb a T b
Definíció 1.8 [ Reláció értelmezési tartománya, értékkészlete és inverze ] Legyen T ⊂ A × B T\subset A\times B T ⊂ A × B
D T = { a ∈ A ∣ ∃ b ∈ B : ( a ; b ) ∈ T } R T = { b ∈ B ∣ ∃ a ∈ A : ( a ; b ) ∈ T } T − 1 = { ( b ; a ) ∣ ( a ; b ) ∈ T } \begin{aligned}
\Domain_T = & \big\{\; a \in A \;\big|\; \exists b \in B: (a; b) \in T \;\big\}
\\
\Range_T = & \big\{\; b \in B \;\big|\; \exists a \in A: (a; b) \in T \;\big\}
\\
T^{-1} = & \big\{\; (b;a) \;\big|\; (a;b) \in T \;\big\}
\end{aligned} D T = R T = T − 1 = { a ∈ A ∃ b ∈ B : ( a ; b ) ∈ T } { b ∈ B ∃ a ∈ A : ( a ; b ) ∈ T } { ( b ; a ) ( a ; b ) ∈ T } Definíció 1.9 [ Ekvivalenciareláció ] Legyen A ≠ ∅ A \neq \emptyset A = ∅ T ⊂ A × A T \subset A \times A T ⊂ A × A
reflexivitás -- ∀ A ∈ A \forall A \in A ∀ A ∈ A ( a ; a ) ∈ T (a; a) \in T ( a ; a ) ∈ T szimmetria -- ha ( a ; b ) ∈ T (a; b) \in T ( a ; b ) ∈ T ( b ; a ) ∈ T (b; a) \in T ( b ; a ) ∈ T tranzitivitás -- ha ( a ; b ) ∈ T (a; b) \in T ( a ; b ) ∈ T ( b ; c ) ∈ T (b; c) \in T ( b ; c ) ∈ T ( a ; c ) ∈ T (a; c) \in T ( a ; c ) ∈ T Példa Az egész számokon legyen a ∼ b a \sim b a ∼ b a a a b b b
[ 0 ] = { … ; − 4 ; − 2 ; 0 ; 2 ; 4 ; … } , [ 1 ] = { … ; − 3 ; − 1 ; 1 ; 3 ; 5 ; … } . [0] = \{\dots;-4;-2;0;2;4;\dots\},
\qquad
[1] = \{\dots;-3;-1;1;3;5;\dots\}. [ 0 ] = { … ; − 4 ; − 2 ; 0 ; 2 ; 4 ; … } , [ 1 ] = { … ; − 3 ; − 1 ; 1 ; 3 ; 5 ; … } . A reláció reflexív, szimmetrikus és tranzitív, ezért ekvivalenciareláció.
Definíció 1.10 [ Függvény ] A T ⊂ A × B T \subset A \times B T ⊂ A × B
( a ; b ) ∈ T ∧ ( a ; c ) ∈ T ⇒ b = c . (a; b) \in T \land (a; c)\in T \Rightarrow b = c
\text. ( a ; b ) ∈ T ∧ ( a ; c ) ∈ T ⇒ b = c . Jelölés: f : A → B f: A \rightarrow B f : A → B A A A D f \Domain_f D f B B B R f \Range_f R f
Definíció 1.11 [ Bijekció ] Az f : A → B f : A \rightarrow B f : A → B
injektív , vagyis f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2 f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 szürjektív , vagyis ∀ b ∈ B \forall b \in B ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A : f ( a ) = b \exists a \in A: f(a) = b ∃ a ∈ A : f ( a ) = b Megjegyzés Ha az f : A → B f: A \rightarrow B f : A → B f − 1 : B → A f^{-1}: B \rightarrow A f − 1 : B → A f f f inverz leképezés ének hívjuk.
Példa Legyen A = { 1 ; 2 ; 3 } A=\{1;2;3\} A = { 1 ; 2 ; 3 } B = { a ; b ; c } B=\{a;b;c\} B = { a ; b ; c }
f ( 1 ) = b , f ( 2 ) = c , f ( 3 ) = a f(1)=b, \qquad f(2)=c, \qquad f(3)=a f ( 1 ) = b , f ( 2 ) = c , f ( 3 ) = a hozzárendelés bijekció, mert B B B f − 1 ( a ) = 3 f^{-1}(a)=3 f − 1 ( a ) = 3 f − 1 ( b ) = 1 f^{-1}(b)=1 f − 1 ( b ) = 1 f − 1 ( c ) = 2 f^{-1}(c)=2 f − 1 ( c ) = 2