1.1Alapfogalmak, Alapműveletek

Alapfogalmak:

axióma / posztulátum,
definíció,
nem definiált alapfogalom,
állítás / tétel / lemma / segédtétel.

A halmaz egy nem definiált alapfogalom:

A halmazokat nagybetűvel jelöljük: $A$ , $B$ , ...
Az elemeket kisbetűvel: $a$ , $b$ , ...
Halmaz eleme jelölés: $\in$ , pl.: $x \in Y$ , $x$ eleme az $Y$ halmaznak.
Halmaznak nem eleme: $\notin$ , pl.: $x \notin Y$ , $x$ nem eleme az $Y$ halmaznak.

Megjegyzés

Egy halmaz akkor jól megadott, ha bármely elemről eldönthető, hogy hozzá tartozik-e a halmazhoz, vagy nem.

Definíció 1.1 [ Üreshalmaz ]

Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs, üreshalmaznak nevezzük, jele: $\emptyset$ vagy $\{\}$ .

Megjegyzés

A nemüres halmaz: olyan halmaz, melynek legalább egy eleme van.

Megjegyzés

A halmazok megadási módjai:

felsorolással: $A = \{1, 2, 3\}$ ,
utasítással: $A = \{x \mid x \text{ egész szám és } 1 \leq x \leq 3\}$ .

Megjegyzés

Nevezetes halmazok:

természetes számok: $\mathbb{N}$ ,
egész számok: $\mathbb{Z}$ ,
racionális számok: $\mathbb{Q}$ ,
valós számok: $\mathbb{R}$ ,
komplex számok: $\mathbb{C}$ .

Definíció 1.2 [ Részhalmaz ]

Legyenek $A$ és $B$ halmazok. Ha $A$ minden eleme eleme $B$ -nek is, akkor azt mondjuk, hogy az $A$ a $B$ részhalmaza, jele: $\subseteq$ , vagy $\subset$ (valódi részhalmaza).

Megjegyzés

$A = B$ , ha $A \subseteq B$ és $B \subseteq A$ is teljesül.

Állítás

Legyenek $A$ , $B$ és $C$ halmazok, ekkor teljesülnek az alábbiak:

$A \subseteq A$ , azaz minden halmaz részhalmaza önmagának. (reflexív)
Ha $A \subseteq B$ és $B \subseteq A$ , akkor $A = B$ . (antiszimmetrikus)
Ha $A \subseteq B$ és $B \subseteq C$ , akkor $A \subseteq C$ . (tranzitív)

Definíció 1.3 [ Metszet, Unió, Különbség ]

Legyenek $A$ és $B$ az $C$ alaphalmaz részhalmazai, ekkor:

\begin{align*} A \cup B & = \{x \mid x \in A \text{ vagy } x \in B\}, \\ A \cap B & = \{x \mid x \in A \text{ és } x \in B\}, \\ A \setminus B & = \{x \mid x \in A \text{ és } x \notin B\}, \\ \end{align*}

Definíció 1.4 [ Diszjunkt halmaz ]

Két halmaz diszjunkt, ha metszetük üreshalmaz.

Definíció 1.5 [ Komplementer halmaz ]

Ha $A \subset B$ , akkor az $A$ halmaznak a $B$ -re vonatkozó komplementere: $B \setminus A$ , jele: $\overline A$ .

Állítás

Halmaz komplenterének komplementere önmaga, vagyis

\overline{\overline A} = A \text.

Tétel 1.1 [ Halmazműveletek tulajdonságai ]

Legyenek $A, B, C \in X$

Tulajdonság	Kifejezés	Tulajdonság
$A \cup B = B \cup A$	Kommutativitás	$A \cap B = B \cap A$
$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$	Asszociativitás	$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$
$A \cup A = A$	Idempotencia	$A \cap A = A$
$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$	Disztributivitás	$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$
$A \cup \emptyset = A$	Abszorpciós törvény	$A \cap \emptyset = \emptyset$
$A \cup \overline A = X$	Komplementer törvény	$A \cap \overline A = \emptyset$
$\overline{A \cup B} = \overline A \cap \overline B$	De Morgan	$\overline{A \cap B} = \overline A \cup \overline B$

Bizonyítás [ De Morgan azonosságok ]

\begin{gathered} x \in \overline{A \cup B} \\ \downarrow \\ x \notin A \cup B \\ x \notin A \land x \notin B \\ x \in \overline A \land x \in \overline B \\ x \in \overline A \cap \overline B \end{gathered}

\begin{gathered} x \in \overline{A \cap B} \\ \downarrow \\ x \notin A \cap B \\ x \notin A \lor x \notin B \\ x \in \overline A \lor x \in \overline B \\ x \in \overline A \cup \overline B \end{gathered}

Definíció 1.6 [ Hatványhalmaz ]

Egy $A$ halmaz összes részhalmazainak halmazát az $A$ halmaz hatványhalmazának nevezzük.

Állítás

Egy $A$ véges halmaz összes részhalmazainak száma: $2^{|A|}$ .

Bizonyítás

A binomiális tétel:

(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \, a^{n-k} \, b^k \text.

Vegyük észre, hogy a binomiális tételben $a = b = 1$ , és $n = |A|$ esetén:

2^n = (1 + 1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \, 1^{n-k} \, 1^k = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = \underbrace{ \binom n0 + \binom n1 + \binom n2 + \dots + \binom nn }_\text{az összes részhalmaz száma} \text.

Matematika G1

1.1Alapfogalmak, Alapműveletek

Megjegyzés

Definíció 1.1 [ Üreshalmaz ]

Megjegyzés

Megjegyzés

Megjegyzés

Definíció 1.2 [ Részhalmaz ]

Megjegyzés

Állítás

Definíció 1.3 [ Metszet, Unió, Különbség ]

Definíció 1.4 [ Diszjunkt halmaz ]

Definíció 1.5 [ Komplementer halmaz ]

Állítás

Tétel 1.1 [ Halmazműveletek tulajdonságai ]

Bizonyítás [ De Morgan azonosságok ]

Definíció 1.6 [ Hatványhalmaz ]

Állítás

Bizonyítás

Tartalomjegyzék