3.5Integrálszámítás

Definíció 3.19 [ Primitív függvény ]

Legyen H⊂RnH \subset \Reals^n nyílt halmaz, f:H→Rn\rvec f: H \to \Reals^n. Az F:Rn→RF: \Reals^n \to \Reals függvényt az f\rvec f függvény primitív függvényének nevezzük, ha ∀x∈H\forall \rvec x \in H-ra F′(x)=f(x)F'(\rvec x) = \rvec f(\rvec x) teljesül, azaz

(∂F(x)∂x1∂F(x)∂x1⋯∂F(x)∂x1)=(f1(x)f2(x)⋯fn(x)). \begin{pmatrix} \dfrac{\partial F(\rvec{x})}{\partial x_{1}} & \dfrac{\partial F(\rvec{x})}{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial F(\rvec{x})}{\partial x_{1}} & \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_1(\rvec x) & f_2(\rvec x) & \cdots & f_n(\rvec x) \end{pmatrix} \text.

Tétel 3.11 [ Primitív függvény létezésének szükséges feltétele ]

Ha D∈RnD \in \Reals^n nyílt halmaz, f:D→Rn\rvec f: D \to \Reals^n és F:Rn→RF: \Reals^n \to \Reals az f\rvec f primitív függvénye, akkor ∂ifj=∂jfi\partial_i f_j = \partial_j f_i, ahol i;j∈{1;2;…;n}i;j \in \{1;2;\ldots;n\}.

Bizonyítás

Ha ff-nek létetik a primiv függvénye, akkor ∂iF=fi\partial_i F = f_i, valamint ∂jF=fj\partial_j F = f_j. Alkalmazzuk a Young-tételt:

∂jfi=∂j∂iF=∂i∂jF=∂ifj. \partial_j f_i = \partial_j \partial_i F = \partial_i \partial_j F = \partial_i f_j \text.

Tétel 3.12 [ Primitív függvény létezésének elégséges feltétele ]

Legyen D∈RnD \in \Reals^n konvex, nyílt halmaz. Ha f:D→Rn\rvec f: D \to \Reals^n folytonosan differenciálható és ∀i;j∈{1;2;…;n}\forall i;j \in \{1;2;\ldots;n\}-re ∂ifj=∂jfi\partial_i f_j = \partial_j f_i, akkor f\rvec f-nek létezik primitív függvénye.

Definíció 3.20

Ha a1<b1a_1 < b_1, a2<b2a_2 < b_2, \ldots, an<bna_n < b_n, ai;bi∈Rna_i; b_i \in \Reals^n, i;j∈{1;2;…;n}i;j \in \{1;2;\ldots;n\}, akkor az

[a1;b1]×[a2;b2]×⋯×[an;bn] [a_1; b_1] \times [a_2; b_2] \times \cdots \times [a_n; b_n]

sorozatot Rn\Reals^n-beli zárt intervallumnak nevezzük. Az

(a1;b1)×(a2;b2)×⋯×(an;bn) (a_1; b_1) \times (a_2; b_2) \times \cdots \times (a_n; b_n)

sorozatot Rn\Reals^n-beli nyílt intervallumnak hívjuk.

Megjegyzés

Legyen a∈Rn\rvec a \in \Reals^n, a(a1;a2;…;an)\rvec a(a_1; a_2; \ldots; a_n) és b∈Rn\rvec b \in \Reals^n, b(b1;b2;…;bn)\rvec b(b_1; b_2; \ldots; b_n). Ekkor

[a1;b1]×[a2;b2]×⋯×[an;bn]=[a;b]. [a_1; b_1] \times [a_2; b_2] \times \cdots \times [a_n; b_n] = [\rvec a; \rvec b] \text.

Megjegyzés

Legyen a∈Rn\rvec a \in \Reals^n, a(a1;a2;…;an)\rvec a(a_1; a_2; \ldots; a_n) és b∈Rn\rvec b \in \Reals^n, b(b1;b2;…;bn)\rvec b(b_1; b_2; \ldots; b_n). Ekkor

(a;b)=int⁡[a;b]. (\rvec a; \rvec b) = \inner [\rvec a; \rvec b] \text.

Definíció 3.21

Legyen I=[a;b]I = [\rvec a; \rvec b], a;b∈Rn\rvec a; \rvec b \in \Reals^n.

  • Az intervallum térfogata:

    vol⁡I=∏i=1n(bi−ai). \Vol I = \prod_{i = 1}^n (b_i - a_i) \text.

  • Az intervallum térfogata:

    diam⁡I=∥b−a∥=∑i=1n(bi−ai)2. \diam I = \|\rvec b - \rvec a\| = \sqrt{\displaystyle\sum_{i = 1}^n(b_i - a_i)^2} \text.

  • Az intervallum beosztásán egy olyan {I1;I2;… ;Ik}\{ I_1; I_2; \dots; I_k\} sorozatot értünk, melyre

    ⋃i=1kIi=I eˊs int⁡Ii∩int⁡Ij=∅, ha i≠j. \bigcup_{i = 1}^k I_i = I \text{ és } \inner I_i \cap \inner I_j = \emptyset \text{, ha } i \neq j \text.

  • Az intervallum egy d:={I1;I2;…;Ik}d := \{I_1; I_2; \ldots; I_k\} egy beosztásának σ\sigma finomságán a legnagyobb átmérőjű részintervallum átmérőjét értjük:

    σ(d)=max⁡{diam⁡Ii}. \sigma(d) = \max \{ \diam I_i \} \text.

  • Az e:{J1;J2;…;Jk}e: \{J_1; J_2; \ldots; J_k\} beosztást a dd beosztás finomításának nevezzük, ha létezik olyan JmJ_m m∈{1;2;…n}m \in \{ 1; 2; \ldots n \}, melyre Jm⊂InJ_m \subset I_n n∈{1;2;…k}n \in \{ 1; 2; \ldots k \}.

Állítás

Legyen {I1;I2;…;Ik}\{ I_1; I_2; \ldots; I_k \} az II intervallum egy beosztása, ekkor:

vol⁡I=∑i=1kvol⁡Ii. \Vol I = \sum_{i = 1}^k \Vol I_i \text.

Állítás

Bármely beosztás normál beosztássá tehető.

Definíció 3.22

Legyen I⊂RnI \subset \Reals^n zárt intervallum és f:I→Rf: I \to \Reals korlátos függvény. Ha d:={I1;I2;…;Ik}d := \{ I_1; I_2; \ldots; I_k \} egy beosztása II-nek, akkor …\dots

  • a dd beosztáshoz tartozó alsó integrálközelítő összeg:

    S‾(f;d):=∑i=1kinf⁡{f(Ii)}vol⁡Ii. \underbar S(f; d) := \sum_{i = 1}^k \inf \{ f(I_i) \} \Vol I_i \text.

  • a dd beosztáshoz tartozó felső integrálközelítő összeg:

    S‾(f;d):=∑i=1ksup⁡{f(Ii)}vol⁡Ii. \overline S(f; d) := \sum_{i = 1}^k \sup \{ f(I_i) \} \Vol I_i \text.

  • a dd beosztáshoz tartozó oszcillációs összeg:

    Ω(f;d)=S‾(f;d)−S‾(f;d). \Omega(f; d) = \underbar S(f; d) - \overline S(f; d) \text.

  • Legyen xi∈Ii\rvec x_i \in I_i, ekkor a dd beosztáshoz tartozó integrálközelítő összeg:

    ∑i=1kf(xi)vol⁡Ii. \sum_{i = 1}^k f(\rvec x_i) \Vol I_i \text.

Állítás

Legyen d:={I1;I2;…;Ik}d := \{ I_1; I_2; \ldots; I_k \} és e:={J1;J2;…;Jk}e := \{ J_1; J_2; \ldots; J_k \} az II intervallum egy beosztása, ekkor ha ee finomabb beosztás mint dd igazak az alábbiak:

  • S‾(f;d)≤S‾(f;e)\underbar S(f; d) \leq \underbar S(f; e)
  • S‾(f;d)≥S‾(f;e)\overline S(f; d) \geq \overline S(f; e)
  • Ω(f;d)≤Ω(f;e)\Omega(f; d) \leq \Omega(f; e)

Állítás

Az II tetszőleges d1d_1 és d2d_2 beosztása esetén S‾(f;d1)≤S‾(f;d2)\underbar S(f; d_1) \leq \overline S(f; d_2).

Megjegyzés

Mivel ezen állítás szerint egy tetszőleges beosztáshoz tartozó alsó integrálközelítő összeg nem nagyobb egy másik tetszőlegesen választott beosztáshoz tartozó felső integrálközelítő összegnél, ezért az alsó illetve felső integrálközelítő összegek halmaza felülről illetve alulról korlátos.

Definíció 3.23

Az S‾(f):=sup⁡{S‾(f;d)}\underbar S(f) := \sup \{ \underbar S(f; d) \}, ahol dd beosztása II-nek. Az S‾(f)\underbar S(f)-t alsó Darboux-integrálnak nevezzük.

Az S‾(f):=inf⁡{\overbarS(f;d)}\overline S(f) := \inf \{ \overbar S(f; d) \}, ahol dd beosztása II-nek. Az S‾(f)\overline S(f)-t felső Darboux-integrálnak nevezzük.

Definíció 3.24

Legyen f:I⊂Rn→Rf: I \subset \Reals^n \to \Reals korlátos függvény. Az ff függvényt Riemann-integrálhatónak mondjuk, ha S‾(f)=S‾(f)\underbar S(f) = \overline S(f). Ezt a közös értéket

∫If(x) ⁣dx-szel vagy ∫If-fel jelo¨lju¨k. \int_I f(\rvec x) \dd \rvec x \text{-szel vagy } \int_I f \text{-fel jelöljük.}

Az II intervallumon vett Riemann-integrálható függvények összességét R(I)\mathcal R(I)-vel jelöljük.

Tétel 3.13 [ Darboux-tétel ]

Legyen f:I⊂Rn→Rf: I \subset \Reals^n \to \Reals korlátos függvény. Ekkor ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 esetén létezik δ(ε)>0\delta(\varepsilon) > 0, hogy ha a dd beosztás finomsága kisebb δ(ε)\delta(\varepsilon)-nál (σ(d)<δ(ε)\sigma(d) < \delta(\varepsilon)), akkor S‾(f)−S‾(f;d)<ε\underbar S(f) - \underbar S(f; d) < \varepsilon és \overbarS(f;d)−\overbarS(f)<ε\overbar S(f; d) - \overbar S(f) < \varepsilon.

Tétel 3.14

Legyen I⊂RnI \subset \Reals^n zárt intervallum, f:I→Rf: I \to \Reals korlátos függvény. Ekkor az alábbi állítások igazak:

  • f∈R(I)f \in \mathcal R(I).
  • Oszcillációs kritérium: ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 esetén létezik δ(ε)>0\delta(\varepsilon) > 0, hogy ha σ(d)<δ\sigma(d) < \delta, akkor Ω(f;d)<ε\Omega(f; d) < \varepsilon.
  • A Darboux-tételből levezethető, hogy létezik A∈RA \in \mathcal R, hogy minden ε>0\varepsilon > 0 esetén létezik δ(ε)>0\delta(\varepsilon) > 0, hogy ha d:={I1;I2;…;Ik}d := \{ I_1; I_2; \ldots; I_k \} beosztása II-nek, melyre σ(d)<δ(ε)\sigma(d) < \delta(\varepsilon), akkor ∣∑i=1kf(ti)vol⁡Ii−A∣<ε, ahol ti∈Ii. \left|\sum_{i = 1}^k f(t_i) \Vol I_i - A\right| < \varepsilon \text{, ahol } t_i \in I_i \text.

Megjegyzés

A harmadik pontban szereplő AA érték az ff függvény II-n vett Riemann-integrálja.

Definíció 3.25

Az H⊂RnH \subset \Reals^n halmazt Lebesgue szerint nullmérékűnek mondjuk, ha ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 esetén megadható olyan {I1;I2;…;Ik}\{ I_1; I_2; \ldots; I_k \} intervallumrendszer, melyre az intervallumok uniója lefedi HH-t (H⊂⋃IiH \subset \bigcup I_i), és vol⁡Ii<ε\Vol I_i < \varepsilon teljesül.

Állítás

Legyen H1;H2;…;Hn⊂RnH_1; H_2; \ldots; H_n \subset \Reals^n Lebesgue szerint nullmérékű halmazok sorozata. Ekkor ⋃Hiugyancsak nullmeˊreˊku˝.\bigcup H_i \text{ugyancsak nullmérékű.}

Definíció 3.26

Legyen f:I⊂Rn→Rf: I \subset \Reals^n \to \Reals korlátos függvény és Ir(a)I_r(\rvec a) jelölje az a\rvec a körüli rr sugarú nyílt kockát, ahol

a=(a1;a2;…;an) eˊs Ir(a)=⋃i(ai−r;ai+r). \rvec a = (a_1; a_2; \ldots; a_n) \text{ és } I_r(\rvec a) = \bigcup_i (a_i - r; a_i + r) \text.

Ekkor:

mr(a):=inf⁡{f(x)∣I∩Ir(a)},Mr(a):=sup⁡{f(x)∣I∩Ir(a)}.\begin{align*} m_r(\rvec a) & := \inf \{ f(\rvec x) | I \cap I_r(\rvec a) \} \text, \\ M_r(\rvec a) & := \sup \{ f(\rvec x) | I \cap I_r(\rvec a) \} \text. \end{align*}

Megállapíthatjuk, hogy ha rr csökken, akkor mrm_r nem csökkenhet és MrM_r nem nőhet, azaz mrm_r monoton növekvő és MrM_r monoton csökkenő ha rr csökken. Ez alapján:

m(x):=lim⁡r→0mr(x),M(x):=lim⁡r→0Mr(x).\begin{align*} m(\rvec x) & := \lim_{r \to 0} m_r(\rvec x) \text, \\ M(\rvec x) & := \lim_{r \to 0} M_r(\rvec x) \text. \end{align*}

Az m:I⊂Rn→Rm: I \subset \Reals^n \to \Reals függvényt alsó burkológörbének, és az M:I⊂Rn→RM: I \subset \Reals^n \to \Reals függvényt felső burkológörbének nevezzük.

Állítás

Az ff függvény folytonos az x0∈Df\rvec x_0 \in D_f pontban, akkor és csak akkor, ha m(x0)=M(x0)m(\rvec x_0) = M(\rvec x_0).

Tétel 3.15 [ Lebesgue-tétel ]

Legyen I⊂RnI \subset \Reals^n intervallum és f:I→Rf: I \to \Reals korlátos függvény. Az ff függvény Riemann-integrálható, akkor és csak akkor, ha ff szakadási helyeinek halmaza Lebesgue szerint nullmérékű.

Állítás

Legyenek f,g∈R(I)f, g \in \mathcal R(I), ekkor αf+βg∈R(I)\alpha f + \beta g \in \mathcal R(I), ahol λ;μ∈R\lambda; \mu \in \Reals és

∫I(λf+μg)=λ∫If+μ∫Ig. \int_I (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_I f + \mu \int_I g \text.

Állítás

Legyen f≤gf \leq g és f;g∈R(I)f; g \in \mathcal R(I), ekkor

∫If≤∫Ig. \int_I f \leq \int_I g \text.

Megjegyzés

Az előző állításból következik, hogy ha f∈R(I)f \in \mathcal R(I), akkor f∈R(I)f \in \mathcal R(I), valamint

∣∫If∣≤∫I∣f∣. \left| \int_I f \right| \leq \int_I |f| \text.

Állítás

A teljes felbontáshoz tartozó integrál a részintervallumokhoz tartozó integrálok összege. Legyen f:I⊂Rn→Rf: I \subset \Reals^n \to \Reals és {I1;I2;…;Ik}\{ I_1; I_2; \ldots; I_k \} egy beosztása. Ekkor f∈R(I)f \in \mathcal R(I) akkor és csak akkor, ha

f∣Ii∈R(I)∀i∈{1;2;…;k}-re eˊs∫If=∑i=1k∫Iif∣Ii f|_{I_i} \in \mathcal R(I) \quad \forall i \in \{1; 2; \ldots; k\} \text{-re és} \quad \int_I f = \sum_{i = 1}^k \int_{I_i} f|_{I_i}

Tétel 3.16 [ Középértéktétel ]

Legyen f:I⊂Rn→Rf: I \subset \Reals^n \to \Reals korlátos integrálható függvény, m=inf⁡f(I)m = \inf f(I) és M=sup⁡f(I)M = \sup f(I). Ekkor

mvol⁡I≤∫If≤Mvol⁡I. m \Vol I \leq \int_I f \leq M \Vol I \text.

Definíció 3.27

Legyen H⊂RnH \subset \Reals^n korlátos halmaz, és IHI_H a HH-t tartalmazó legszűkebb tégla. Ekkor értelmezhetjük az ff-nek IHI_H-ra való kiterjesztését: f^:IH→R\hat f: I_H \to \Reals, melyre

f^(x):={f(x),ha x∈H,0,egyeˊbkeˊnt. \hat f(x) := \begin{cases} f(x), & \text{ha } x \in H \text{,} \\ 0, & \text{egyébként.} \end{cases}

Állítás

Legyen f:H→Rf: H \to \Reals integrálható függvény, és legyen I⊃HI \supset H zárt intervallum. Továbbá legyen f^:I→R\hat f: I \to \Reals, melyre

f^(x):={f(x),ha x∈H,0,egyeˊbkeˊnt.⇒∫Hf=∫If^. \hat f(x) := \begin{cases} f(x), & \text{ha } x \in H \text{,} \\ 0, & \text{egyébként.} \end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad \int_H f = \int_I \hat f \text.

Bizonyítás

Ha II legszűkebb tégla, akkor a definíció szerint igaz az egyenlőség. Ha II nem a legszűkebb tégla, akkor az intervallum additivitást alkalmazva belátható hogy a hozzávett részek integrálközelítő értéke 00, azaz igaz az állítás.

Definíció 3.28 [ Diffeomorfizmus ]

Legyen D⊂RnD \subset \Reals^n és G⊂RnG \subset \Reals^n két nemüres tartomány, valamint φ:D→G\varphi: D \to G leképezést diffeomorfizmusnak nevezzük, ha φ\varphi bijekció (kölcsönösen egyértelmű), folytonosan differenciálható és ∀x∈D\forall \rvec x \in D-re ∣φ′(x)∣≠0|\varphi'(\rvec x)| \neq 0.

Állítás

Legyen f:D→Rf: D \to \Reals Reimann-integrálható függvény, továbbá φ:G→D\varphi: G \to D diffeomorfizmus. Ekkor

∫Df=∫Gf∘φ⋅∣φ′∣, \int_D f = \int_G f \circ \varphi \cdot |\varphi'| \text,

ahol ∣φ′∣|\varphi'| a Jacobi-mátrix determinánsa.

Előző oldalSzélsőértékszámítás