1.2 Definíció 1.11 [ Mátrix ] Egy mátrix vízszintes vonalban elhelyezkedő elemei sorok at,
míg függőlegesen elhelyezkedő elemei oszlop okat alkotnak.
Egy m m m n n n
A = [ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ] . \rmat A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{bmatrix}
\text. A = a 11 a 21 ⋮ a m 1 a 12 a 22 ⋮ a m 2 … … ⋱ … a 1 n a 2 n ⋮ a mn . Mátrixok jelölése nyomtatott szövegben: A \rmat A A
Mátrixok jelölése írásban: A ‾ ‾ \underline{\underline A} A
Az m × n m \times n m × n M m × n = R m × R n = R m × n \mathcal M_{m \times n}
= \mathbb R^m \times \mathbb R^n = \mathbb R^{m \times n} M m × n = R m × R n = R m × n
A mátrix i i i j j j a i j a_{ij} a ij
Megjegyzés A mátrix dimenzióit mindig először a sorok számával, majd azt követően az
oszlopok számával adják meg.
Speciális mátrixstruktúrák:
[ a 11 a 21 ⋮ a n 1 ] ∈ M n × 1 ∼ oszlopvektor / oszlopm a ˊ trix [ a 11 a 12 … a 1 n ] ∈ M 1 × n ∼ sorvektor / sorm a ˊ trix [ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ] ∈ M n × n ∼ kvadratikus / n e ˊ gyzetes m a ˊ trix E = [ a n 1 a n 2 … a n n 1 0 … 0 0 1 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 1 ] ∈ M n × n ∼ egys e ˊ gm a ˊ trix 0 = [ a n 1 a n 2 … a n n 0 0 … 0 0 0 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 0 ] ∈ M m × n ∼ nullm a ˊ trix \begin{array}{rccl}
& \begin{bmatrix}
a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1}
\end{bmatrix}
& \in \; \mathcal M_{n \times 1}
& \sim\;\;\text{oszlopvektor / oszlopmátrix}
\\[12mm]
& \begin{bmatrix}
\;a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\;
\end{bmatrix}
& \in \; \mathcal M_{1 \times n}
& \sim\;\;\text{sorvektor / sormátrix}
\\[4mm]
& \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{bmatrix}
& \in \; \mathcal M_{n \times n}
& \sim\;\;\text{kvadratikus / négyzetes mátrix}
\\[12mm]
\imat =
& \begin{bmatrix}
\hphantom{a_{n1}} & \hphantom{a_{n2}} & \hphantom{\ldots} & \hphantom{a_{nn}} \\[-14pt]
1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & 1
\end{bmatrix}
& \in \; \mathcal M_{n \times n}
& \sim\;\;\text{egységmátrix}
\\[12mm]
\nmat =
& \begin{bmatrix}
\hphantom{a_{n1}} & \hphantom{a_{n2}} & \hphantom{\ldots} & \hphantom{a_{nn}} \\[-14pt]
0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & 0
\end{bmatrix}
& \in \; \mathcal M_{m \times n}
& \sim\;\;\text{nullmátrix}
\end{array} E = 0 = a 11 a 21 ⋮ a n 1 [ a 11 a 12 … a 1 n ] a 11 a 21 ⋮ a n 1 a 12 a 22 ⋮ a n 2 … … ⋱ … a 1 n a 2 n ⋮ a nn a n 1 1 0 ⋮ 0 a n 2 0 1 ⋮ 0 … … … ⋱ … a nn 0 0 ⋮ 1 a n 1 0 0 ⋮ 0 a n 2 0 0 ⋮ 0 … … … ⋱ … a nn 0 0 ⋮ 0 ∈ M n × 1 ∈ M 1 × n ∈ M n × n ∈ M n × n ∈ M m × n ∼ oszlopvektor / oszlopm a ˊ trix ∼ sorvektor / sorm a ˊ trix ∼ kvadratikus / n e ˊ gyzetes m a ˊ trix ∼ egys e ˊ gm a ˊ trix ∼ nullm a ˊ trix Definíció 1.12 [ Mátrixok transzponáltja ] Egy A ∈ M m × n \rmat A \in \mathcal M_{m \times n} A ∈ M m × n A ⊺ ∈ M n × m \rmat A^\T \in \mathcal M_{n \times m} A ⊺ ∈ M n × m
Példa Határozzuk meg az A = [ 1 2 3 4 5 6 ] \rmat A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix} A = [ 1 4 2 5 3 6 ]
A = [ 1 2 3 4 5 6 ] ∈ M 2 × 3 ⇒ A ⊺ = [ 1 4 2 5 3 6 ] ∈ M 3 × 2 \rmat A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix} \in \mathcal M_{2 \times 3}
\quad \Rightarrow \quad
\rmat A^\T = \begin{bmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6
\end{bmatrix} \in \mathcal M_{3 \times 2} A = [ 1 4 2 5 3 6 ] ∈ M 2 × 3 ⇒ A ⊺ = 1 2 3 4 5 6 ∈ M 3 × 2 Definíció 1.13 [ szimmetrikus mátrix ] Egy A ∈ M n × n \rmat A \in \mathcal M_{n \times n} A ∈ M n × n A = A ⊺ \rmat A = \rmat A^\T A = A ⊺
Definíció 1.14 [ Antiszimmetrikus mátrix ] Egy A ∈ M n × n \rmat A \in \mathcal M_{n \times n} A ∈ M n × n A = − A ⊺ \rmat A = -\rmat A^\T A = − A ⊺
Megjegyzés Antiszimmetrikus mátrixok főátlójában csak nullák szerepelnek.
Definíció 1.15 [ Mátrixok egyenlősége ] Két mátrix akkor és csak akkor egyenlő, ha a megfelelő helyeken álló elemei
egyenlőek.
! A , B ∈ M m × n : A = B ⟺ ∀ i ∈ { 1 , 2 , … , m } ∧ ∀ j ∈ { 1 , 2 , … , n } : a i j = b i j !\rmat A, \rmat B \in \mathcal M_{m \times n}: \rmat A = \rmat B
\quad \Longleftrightarrow \quad
\forall i \in \{1, 2, \ldots, m\}
\; \land \;
\forall j \in \{1, 2, \ldots, n\}:
a_{ij} = b_{ij} ! A , B ∈ M m × n : A = B ⟺ ∀ i ∈ { 1 , 2 , … , m } ∧ ∀ j ∈ { 1 , 2 , … , n } : a ij = b ij Definíció 1.16 [ Mátrixok összege ] Két mátrix összegén azt a mátrixot értjük, melyet a két mátrix elemenkénti
összeadásával kapunk, azaz, ha A , B ∈ M m × n \rmat A, \rmat B \in \mathcal M_{m \times n} A , B ∈ M m × n C : = A + B ∈ M m × n \rmat C := \rmat A + \rmat B \in \mathcal M_{m \times n} C := A + B ∈ M m × n c i j : = a i j + b i j c_{ij} := a_{ij} + b_{ij} c ij := a ij + b ij
Példa Határozzuk meg az A = [ 1 2 3 4 5 6 ] \rmat A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix} A = [ 1 4 2 5 3 6 ] B = [ 6 5 4 3 2 1 ] \rmat B = \begin{bmatrix}
6 & 5 & 4 \\
3 & 2 & 1
\end{bmatrix} B = [ 6 3 5 2 4 1 ]
[ 1 2 3 4 5 6 ] + [ 6 5 4 3 2 1 ] = [ 1 + 6 2 + 5 3 + 4 4 + 3 5 + 2 6 + 1 ] = [ 7 7 7 7 7 7 ] \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
6 & 5 & 4 \\
3 & 2 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 + 6 & 2 + 5 & 3 + 4 \\
4 + 3 & 5 + 2 & 6 + 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
7 & 7 & 7 \\
7 & 7 & 7
\end{bmatrix} [ 1 4 2 5 3 6 ] + [ 6 3 5 2 4 1 ] = [ 1 + 6 4 + 3 2 + 5 5 + 2 3 + 4 6 + 1 ] = [ 7 7 7 7 7 7 ] Definíció 1.17 [ Mátrix és skalár szorzata ] Egy mátrix és egy skalár szorzata olyan mátrix, melynek minden eleme
skalárszorosa az eredeti mátrix elemeinek, azaz ha
A ∈ M m × n \rmat A \in \mathcal M_{m \times n} A ∈ M m × n λ ∈ R \lambda \in \mathbb R λ ∈ R C : = λ A \rmat C := \lambda \rmat A C := λ A c i j : = λ a i j c_{ij} := \lambda a_{ij} c ij := λ a ij
Példa Határozzuk meg a λ = 2 \lambda = 2 λ = 2 A = [ 1 2 3 4 5 6 ] \rmat A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix} A = [ 1 4 2 5 3 6 ]
λ ⋅ A = 2 ⋅ [ 1 2 3 4 5 6 ] = [ 2 ⋅ 1 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 4 2 ⋅ 5 2 ⋅ 6 ] = [ 2 4 6 8 10 12 ] \lambda \cdot \rmat A
= 2 \cdot
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \cdot 1 & 2 \cdot 2 & 2 \cdot 3 \\
2 \cdot 4 & 2 \cdot 5 & 2 \cdot 6
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & 4 & 6 \\
8 & 10 & 12
\end{bmatrix} λ ⋅ A = 2 ⋅ [ 1 4 2 5 3 6 ] = [ 2 ⋅ 1 2 ⋅ 4 2 ⋅ 2 2 ⋅ 5 2 ⋅ 3 2 ⋅ 6 ] = [ 2 8 4 10 6 12 ] Definíció 1.18 [ Mátrixok szorzata ] Legyen A ∈ M m × n \rmat A \in \mathcal M_{m \times n} A ∈ M m × n B ∈ M n × p \rmat B \in \mathcal M_{n \times p} B ∈ M n × p
C : = A ⋅ B , ahol c i j = ∑ k = 1 n a i k ⋅ b k j = a i 1 ⋅ b 1 j + a i 2 ⋅ b 2 j + … + a i n ⋅ b n j . \rmat C := \rmat A \cdot \rmat B
\text{, ahol }
c_{ij}
= \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}
= a_{i1} \cdot b_{1j} + a_{i2} \cdot b_{2j} + \ldots + a_{in} \cdot b_{nj}
\text. C := A ⋅ B , ahol c ij = k = 1 ∑ n a ik ⋅ b kj = a i 1 ⋅ b 1 j + a i 2 ⋅ b 2 j + … + a in ⋅ b nj . A mátrixszorzás vizualizálása:
[ ∑ a m i b i 1 … ∑ a m i b i p b 11 … b 1 p b 21 … b 2 p ⋮ ⋱ ⋮ b n 1 … b n p ] [ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ] [ ∑ a 1 i b i 1 … ∑ a 1 i b i p ∑ a 2 i b i 1 … ∑ a 2 i b i p ⋮ ⋱ ⋮ ∑ a m i b i 1 … ∑ a m i b i p ] \begin{align*}
& \left[\begin{array}{ccc}
\phantom{\sum a_{mi} b_{i1}} & \phantom{\dots} & \phantom{\sum a_{mi} b_{ip}} \\[-14pt]
b_{11} & \dots & b_{1p} \\
b_{21} & \dots & b_{2p} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n1} & \dots & b_{np}
\end{array}\right]
\\
\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
\end{array}\right]
& \left[\begin{array}{ccc}
\sum a_{1i} b_{i1} & \dots & \sum a_{1i} b_{ip} \\
\sum a_{2i} b_{i1} & \dots & \sum a_{2i} b_{ip} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\sum a_{mi} b_{i1} & \dots & \sum a_{mi} b_{ip}
\end{array}\right]
\end{align*} a 11 a 21 ⋮ a m 1 a 12 a 22 ⋮ a m 2 … … ⋱ … a 1 n a 2 n ⋮ a mn ∑ a mi b i 1 b 11 b 21 ⋮ b n 1 … … … ⋱ … ∑ a mi b i p b 1 p b 2 p ⋮ b n p ∑ a 1 i b i 1 ∑ a 2 i b i 1 ⋮ ∑ a mi b i 1 … … ⋱ … ∑ a 1 i b i p ∑ a 2 i b i p ⋮ ∑ a mi b i p Példa Határozzuk meg az A = [ 1 0 − 2 − 1 3 4 ] \rmat A = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
-2 & -1 \\
3 & 4
\end{bmatrix} A = 1 − 2 3 0 − 1 4 B = [ 1 0 2 − 1 2 0 ] \rmat B = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 2 & 0
\end{bmatrix} B = [ 1 − 1 0 2 2 0 ]
[ − 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ ( − 2 ) + 0 ⋅ 3 − 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ ( − 1 ) + 0 ⋅ 4 1 0 − 2 − 1 3 4 ] [ 1 0 2 − 1 2 0 ] [ 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ ( − 2 ) + 2 ⋅ 3 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 − 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ ( − 2 ) + 0 ⋅ 3 − 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ ( − 1 ) + 0 ⋅ 4 ] = [ 7 8 − 5 − 2 ] \begin{align*}
& \left[\begin{array}{cc}
\phantom{-1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 3} & \phantom{-1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 4} \\[-14pt]
1 & 0 \\
-2 & -1 \\
3 & 4
\end{array}\right]
\\
\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 2 & 0
\end{array}\right]
& \left[\begin{array}{cc}
1 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 4 \\
-1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 & -1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 4
\end{array}\right] = \begin{bmatrix}
7 & 8 \\
-5 & -2
\end{bmatrix}
\end{align*} [ 1 − 1 0 2 2 0 ] − 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ ( − 2 ) + 0 ⋅ 3 1 − 2 3 − 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ ( − 1 ) + 0 ⋅ 4 0 − 1 4 [ 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ ( − 2 ) + 2 ⋅ 3 − 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ ( − 2 ) + 0 ⋅ 3 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 − 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ ( − 1 ) + 0 ⋅ 4 ] = [ 7 − 5 8 − 2 ] Állítás Ha A \rmat A A B \rmat B B C \rmat C C ( A ⋅ B ) ⋅ C (\rmat A \cdot \rmat B) \cdot \rmat C ( A ⋅ B ) ⋅ C A ⋅ ( B ⋅ C ) \rmat A \cdot (\rmat B \cdot \rmat C) A ⋅ ( B ⋅ C )
A mátrixszorzás tehát asszociatív .
Definíció 1.19 [ Determináns ] Legyen A ∈ M n × n \rmat A \in \mathcal M_{n \times n} A ∈ M n × n det : M n × n → R \det: \mathcal M_{n \times n} \rightarrow \mathbb R det : M n × n → R i i i a i \rvec a_i a i A \rmat A A det A \det \rmat A det A
homogén:
det ( i ⋯ λ a i ⋯ i ) = λ det ( i ⋯ a i ⋯ i ) , \edet{\lambda \rvec a_i} = \lambda \edet{\rvec a_i}
\text, det ( i ⋯ λ a i ⋯ i ) = λ det ( i ⋯ a i ⋯ i ) ,
additív:
det ( i ⋯ a i + b i ⋯ i ) = det ( i ⋯ a i ⋯ i ) + det ( i ⋯ b i ⋯ i ) , \edet{\rvec a_i + \rvec b_i} =
\edet{\rvec a_i} + \edet{\rvec b_i}
\text, det ( i ⋯ a i + b i ⋯ i ) = det ( i ⋯ a i ⋯ i ) + det ( i ⋯ b i ⋯ i ) ,
alternáló:
det ( i ⋯ a i … a j ⋯ i ) = − det ( i ⋯ a j … a i ⋯ i ) , \edet{\rvec a_i & \dots & \rvec a_j} =
- \edet{\rvec a_j & \dots & \rvec a_i}
\text, det ( i ⋯ a i … a j ⋯ i ) = − det ( i ⋯ a j … a i ⋯ i ) ,
E \imat E det E = det ( e ^ 1 e ^ 2 ⋯ e ^ n ) = 1 , \det \imat =\det \begin{pmatrix}
\uvec e_1 & \uvec e_2 & \cdots & \uvec e_n
\end{pmatrix} = 1
\text, det E = det ( e ^ 1 e ^ 2 ⋯ e ^ n ) = 1 , Állítás Ha egy mátrixban van két azonos oszlop, akkor a determinánsa nulla.
Állítás Egy mátrix determinánsa nem változik, ha az egyik oszlopához hozzáadjuk egy
másik oszlopának skalárszorosát.
Tétel 1.1 [ Kifejtési tétel ] det A = det ( a 1 ; a 2 ; … ; a n ) = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = det ( ∑ j = 1 n a j 1 e ^ j ; a 2 ; … ; a n ) = a 11 det ( e ^ 1 ; a 2 ; … ; a n ) + a 21 det ( e ^ 2 ; a 2 ; … ; a n ) + … + a n 1 det ( e ^ n ; a 2 ; … ; a n ) = a 11 ∣ 1 0 ⋯ 0 0 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 a n 2 ⋯ a n n ∣ + a 21 ∣ 0 a 12 ⋯ a 1 n 1 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 a n 2 ⋯ a n n ∣ + + ⋯ + a n 1 ∣ 0 a 12 ⋯ a 1 n 0 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 0 ⋯ 0 ∣ = = a 11 ∣ 1 0 ⋯ 0 0 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 a n 2 ⋯ a n n ∣ − a 21 ∣ a 12 0 ⋯ a 1 n 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 2 0 ⋯ a n n ∣ + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 a n 1 ∣ a 12 ⋯ a 1 n 0 a 22 ⋯ a 2 n 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a n 2 ⋯ a n n 1 ∣ \begin{align*}
\det & \rmat A
= \det \left( \rvec a_1; \rvec a_2; \dots; \rvec a_n \right)
= \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
= \det \left(
\sum_{j = 1}^{n} a_{j1} \uvec e_j; \rvec a_2; \dots; \rvec a_n
\right)
\\[2mm]
& = a_{11} \det \left( \uvec e_1; \rvec a_2; \dots; \rvec a_n \right)
+ a_{21} \det \left( \uvec e_2; \rvec a_2; \dots; \rvec a_n \right)
+ \ldots
+ a_{n1} \det \left( \uvec e_n; \rvec a_2; \dots; \rvec a_n \right)
\\[2mm]
& = a_{11}\; \begin{vmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
+ a_{21}\; \begin{vmatrix}
0 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} +
+ \dots
+ a_{n1}\; \begin{vmatrix}
0 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 0 & \cdots & 0
\end{vmatrix}
=
\\[2mm]
& = a_{11}\; \begin{vmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
- a_{21}\; \begin{vmatrix}
a_{12} & 0 & \cdots & a_{1n} \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n2} & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
+ \dots
+ (-1)^{n-1} a_{n1}\; \begin{vmatrix}
a_{12} & \cdots & a_{1n} & 0 \\
a_{22} & \cdots & a_{2n} & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_{n2} & \cdots & a_{nn} & 1
\end{vmatrix}
\end{align*} det A = det ( a 1 ; a 2 ; … ; a n ) = a 11 a 21 ⋮ a n 1 a 12 a 22 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a nn = det ( j = 1 ∑ n a j 1 e ^ j ; a 2 ; … ; a n ) = a 11 det ( e ^ 1 ; a 2 ; … ; a n ) + a 21 det ( e ^ 2 ; a 2 ; … ; a n ) + … + a n 1 det ( e ^ n ; a 2 ; … ; a n ) = a 11 1 0 ⋮ 0 0 a 22 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 0 a 2 n ⋮ a nn + a 21 0 1 ⋮ 0 a 12 0 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n 0 ⋮ a nn + + ⋯ + a n 1 0 0 ⋮ 1 a 12 a 22 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ 0 = = a 11 1 0 ⋮ 0 0 a 22 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 0 a 2 n ⋮ a nn − a 21 a 12 0 ⋮ a n 2 0 1 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n 0 ⋮ a nn + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 a n 1 a 12 a 22 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a nn 0 0 ⋮ 1 Jelölje a k k k j j j A k j \rmat A_{kj} A kj
a 11 A 11 − a 21 A 21 + … + ( − 1 ) n − 1 a n 1 A n 1 . a_{11} \rmat A_{11}
- a_{21} \rmat A_{21}
+ \ldots
+ (-1)^{n-1} a_{n1} \rmat A_{n1}
\text. a 11 A 11 − a 21 A 21 + … + ( − 1 ) n − 1 a n 1 A n 1 . Vezessük be a következő jelölést:
A ‾ k j = ( − 1 ) k − 1 A k j \rmat{\overline A}_{kj} = (-1)^{k-1} \rmat A_{kj} A kj = ( − 1 ) k − 1 A kj
a 11 A ‾ 11 + a 21 A ‾ 21 + … + a n 1 A ‾ n 1 = ∑ j = 1 n a j 1 A j 1 = ⋯ = ∑ k = 1 n ( − 1 ) ε a k 1 a k 2 … a k n det E , a_{11} \rmat{\overline A}_{11}
+ a_{21} \rmat{\overline A}_{21}
+ \ldots
+ a_{n1} \rmat{\overline A}_{n1}
=
\sum_{j=1}^{n} a_{j1} \rmat A_{j1}
=
\cdots
=
\sum_{k = 1}^{n} (-1)^{\varepsilon} a_{k1} a_{k2} \ldots a_{kn} \det \imat
\text, a 11 A 11 + a 21 A 21 + … + a n 1 A n 1 = j = 1 ∑ n a j 1 A j 1 = ⋯ = k = 1 ∑ n ( − 1 ) ε a k 1 a k 2 … a kn det E , ahol ε \varepsilon ε E \imat E
Megjegyzés A kifejtési tételből következményei:
Nem lényeges, hogy sorról vagy oszlopról beszélünk a determinánssal
kapcsolatban:
det A = det A ⊺ . \det \rmat A = \det \rmat A^\T
\text. det A = det A ⊺ .
A determináns bármely sora vagy oszlopa alapján kifejthető:
det A = ∑ k = 1 n a k j A ‾ k j ⏟ j -edik oszlop szerint = ∑ k = 1 n a i k A ‾ i k ⏟ i -edik sor szerint \det \rmat A
= \underbrace{
\sum_{k = 1}^n a_{kj} \rmat{\overline A}_{kj}
}_{\text{$j$-edik oszlop szerint}}
= \underbrace{
\sum_{k = 1}^n a_{ik} \rmat{\overline A}_{ik}
}_{\text{$i$-edik sor szerint}} det A = j -edik oszlop szerint k = 1 ∑ n a kj A kj = i -edik sor szerint k = 1 ∑ n a ik A ik
Példa Adjuk meg az A = [ 1 2 6 7 ] \rmat A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\ 6 & 7
\end{bmatrix} A = [ 1 6 2 7 ]
det A = ∣ 1 2 6 7 ∣ = 1 ⋅ 7 − 2 ⋅ 6 = 7 − 12 = − 5 \det A = \begin{vmatrix}
1 & 2 \\ 6 & 7
\end{vmatrix} = 1 \cdot 7 - 2 \cdot 6 = 7 - 12 = -5 det A = 1 6 2 7 = 1 ⋅ 7 − 2 ⋅ 6 = 7 − 12 = − 5 Tétel 1.2 [ Lineárisan független vektorok ] Az { a 1 ; a 2 ; … ; a n } \{\rvec a_1; \rvec a_2; \ldots; \rvec a_n\} { a 1 ; a 2 ; … ; a n } det ( a 1 ; a 2 ; … ; a n ) ≠ 0 \det(\rvec a_1; \rvec a_2; \ldots; \rvec a_n) \neq 0 det ( a 1 ; a 2 ; … ; a n ) = 0
Definíció 1.20 [ Mátrix rangja ] A mátrix rangjának nevezzük az oszlopvektorai közül a lineárisan függetlenek
maximális számát.
Példa Határozzuk meg az A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] \rmat A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix} A = 1 4 7 2 5 8 3 6 9
Az A \rmat A A
Tétel 1.3 [ Mátrixok rangszámának tétele ] Egy mátrix rangja megegyezik maximális el nem tűnő aldeterminánsának
rendjével.
Definíció 1.21 [ Mátrix elemi átalakításai ] Egy mátrix elemi átalakításainak nevezzük a következőket:
A mátrix egy tetszőleges sorát vagy oszlopát egy 0-tól különböző
számmal megszorozzuk.
A mátrix egy tetszőleges sorát vagy oszlopát felcseréljük.
A mátrix egy tetszőleges sorához vagy oszlopához egy másik tetszőleges
sorát vagy oszlopát adjuk.
Állítás Egy mátrix rangja elemi átalakítások során nem változik.
Bizonyítás A determináns axiómáit figyelembe véve látható, hogy az elemi
átalakítások nem változtatják meg a determináns 0 voltát.
Definíció 1.22 [ Kvadratikus és szinguláris mátrix ] Egy kvadratikus (négyzetes) mátrixot regulárisnak mondunk, ha
determinánsa nem zérus.
Ha a kvadratikus mátrix determinánsa 0, szinguláris mátrixról
beszélünk.
Tétel 1.4 [ A determinánsok szorzástétele ] Legyen A ; B ∈ M n × n \rmat A; \rmat B \in \mathcal M_{n \times n} A ; B ∈ M n × n det ( A ⋅ B ) = det A ⋅ det B \det(\rmat A \cdot \rmat B) = \det \rmat A \cdot \det \rmat B det ( A ⋅ B ) = det A ⋅ det B
Állítás ( M n × n ; + ; ⋅ ) (\mathcal M_{n \times n}; +; \cdot) ( M n × n ; + ; ⋅ ) … \dots …
( M n × n ; + ) (\mathcal M_{n \times n}; +) ( M n × n ; + ) ( M n × n ; ⋅ ) (\mathcal M_{n \times n}; \cdot) ( M n × n ; ⋅ ) teljesül a disztributivitás,
létezik a szorzás egységeleme, amely maga az egységmátrix.
Definíció 1.23 [ Inverz mátrix ] Az A ∈ M n × n \rmat A \in \mathcal M_{n \times n} A ∈ M n × n A − 1 \rmat A^{-1} A − 1 A ⋅ A − 1 = E \rmat A \cdot \rmat A^{-1} = \imat A ⋅ A − 1 = E
Tétel 1.5 [ Ferde kifejtési tétel ] Legyen A ∈ M n × n \rmat A \in \mathcal M_{n \times n} A ∈ M n × n
∑ i = 1 n a j i A k i = 0 , ha j ≠ k . \sum_{i=1}^{n} a_{ji} \rmat A_{ki} = 0
\text{, ha}
j \neq k
\text. i = 1 ∑ n a ji A ki = 0 , ha j = k . Állítás Egy szinguláris mátrixnak nem létezik inverze.
Bizonyítás [ Indirekt módon ] Legyen A ∈ M n × n \rmat A \in \mathcal M_{n \times n} A ∈ M n × n A ⋅ A − 1 = E \rmat A \cdot \rmat A^{-1} = \imat A ⋅ A − 1 = E
det A ⏟ = 0 ⋅ det A − 1 = det ( A ⋅ A − 1 ) = det E ⏟ = 1 . \underbrace{\det \rmat A}_{=0} \cdot \det \rmat A^{-1}
= \det \left( \rmat A \cdot \rmat A^{-1} \right)
= \underbrace{\det \imat}_{=1}
\text. = 0 det A ⋅ det A − 1 = det ( A ⋅ A − 1 ) = = 1 det E . Látjuk, hogy ezzel ellentmondásra jutunk.
Állítás Reguláris mátrix inverze egyértelmű. Ha A ∈ M n × n \rmat A \in \mathcal M_{n \times n} A ∈ M n × n
A − 1 : = adj A det A . \rmat A^{-1} := \frac{\adj \rmat A}{\det \rmat A}
\text. A − 1 := det A adj A . Egy 3 × 3 3 \times 3 3 × 3
A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] ⇒ adj A = [ + ∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ − ∣ a 12 a 13 a 32 a 33 ∣ + ∣ a 12 a 13 a 22 a 23 ∣ − ∣ a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ + ∣ a 11 a 13 a 31 a 33 ∣ − ∣ a 11 a 13 a 21 a 23 ∣ + ∣ a 21 a 22 a 31 a 32 ∣ − ∣ a 11 a 12 a 31 a 32 ∣ + ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ ] \rmat A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
\quad
\Rightarrow
\quad
\adj \rmat A = \begin{bmatrix}
+ \begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
&
- \begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
&
+\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{22} & a_{23}
\end{vmatrix}
\\[10pt]
- \begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}
\end{vmatrix}
&
+ \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{31} & a_{33}
\end{vmatrix}
&
- \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{21} & a_{23}
\end{vmatrix}
\\[10pt]
+ \begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{vmatrix}
&
- \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{31} & a_{32}
\end{vmatrix}
&
+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}
\end{bmatrix} A = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ⇒ adj A = + a 22 a 32 a 23 a 33 − a 21 a 31 a 23 a 33 + a 21 a 31 a 22 a 32 − a 12 a 32 a 13 a 33 + a 11 a 31 a 13 a 33 − a 11 a 31 a 12 a 32 + a 12 a 22 a 13 a 23 − a 11 a 21 a 13 a 23 + a 11 a 21 a 12 a 22