Bezárás Matematika G2 A tárgyhoz tartozó jegyzet fejezetei és alfejezetei
Menü > < Tartalomjegyzék
2.1 Definíció 2.1 [ Függvénysorozat ] Az f n : I ⊂ R → R f_n : I \subset \mathbb R \to \mathbb R f n : I ⊂ R → R
Példa
f n : R → [ − 1 ; 1 ] , f n ( x ) = sin n x f_n : \mathbb R \to [-1; 1], \quad f_n(x) = \sin nx f n : R → [ − 1 ; 1 ] , f n ( x ) = sin n x g n : [ 0 ; ∞ ] → R , g n ( x ) = x n g_n: [0; \infty] \to \mathbb R, \quad g_n(x) = x^n g n : [ 0 ; ∞ ] → R , g n ( x ) = x n Definíció 2.2 [ Függvénysorozat pontbeli konvergenciája ] Ha az x 0 ∈ I x_0 \in I x 0 ∈ I ( f n ( x 0 ) ) (f_n(x_0)) ( f n ( x 0 )) ( f n ) (f_n) ( f n ) x 0 x_0 x 0
H : = { x ∣ x ∈ I ∧ ( f n ) konvergens az x pontban } . H := \big\{\;
x \mid x \in I \land (f_n) \text{ konvergens az } x \text{ pontban}
\;\big\}
\text. H := { x ∣ x ∈ I ∧ ( f n ) konvergens az x pontban } . Példa
f n ( x ) = sin n x , H f n = { k π ; k ∈ Z } f_n(x) = \sin nx, \quad H_{f_n} = \{ k\pi; k \in \mathbb Z \} f n ( x ) = sin n x , H f n = { kπ ; k ∈ Z } g n ( x ) = x n , H g n = [ 0 ; 1 ] g_n(x) = x^n, \quad H_{g_n} = [0; 1] g n ( x ) = x n , H g n = [ 0 ; 1 ] Definíció 2.3 [ Függvénysorozat határfüggvénye ] Az f f f ( f n ) (f_n) ( f n )
f ( x ) : = lim n → ∞ f n ( x ) , x ∈ H . f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)
\text,\quad
x \in H
\text. f ( x ) := n → ∞ lim f n ( x ) , x ∈ H . Azt mondjuk, hogy az ( f n ) (f_n) ( f n ) f f f H H H ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0 ∀ ε > 0 ∃ N ( ε ; x ) \exists N(\varepsilon; x) ∃ N ( ε ; x ) ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ε |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ε n > N ( ε ; x ) n > N(\varepsilon; x) n > N ( ε ; x )
Definíció 2.4 [ Függvénysorozat egyenletes konvergenciája ] Az ( f n ) (f_n) ( f n ) E ⊂ H E \subset H E ⊂ H ∀ ε > 0 \forall\varepsilon > 0 ∀ ε > 0 N ( ε ) N(\varepsilon) N ( ε ) ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ε |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ε n > N ( ε ) n > N(\varepsilon) n > N ( ε ) x ∈ E x \in E x ∈ E
Megjegyzés Az egyenletes konvergenciából következik a pontonkénti konvergencia.
Az állítás azonban megfordítva nem igaz.
Tétel 2.1 [ Cauchy-kritérium függvénysorozatok konvergenciájára ]
Az ( f n ) (f_n) ( f n ) x 0 ∈ H x_0 \in H x 0 ∈ H ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0 ∀ ε > 0 ∃ N ( ε ) \exists N(\varepsilon) ∃ N ( ε ) ∣ f n ( x 0 ) − f m ( x 0 ) ∣ < ε |f_n(x_0) - f_m(x_0)| < \varepsilon ∣ f n ( x 0 ) − f m ( x 0 ) ∣ < ε n ; m > N ( ε ) n; m > N(\varepsilon) n ; m > N ( ε )
Az ( f n ) (f_n) ( f n ) H ⊂ I H \subset I H ⊂ I ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0 ∀ ε > 0 ∃ N ( ε , x ) \exists N(\varepsilon, x) ∃ N ( ε , x ) n ; m > N ( ε , x ) n; m > N(\varepsilon, x) n ; m > N ( ε , x ) ∀ x ∈ H \forall x \in H ∀ x ∈ H ∣ f n ( x ) − f m ( x ) ∣ < ε |f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon ∣ f n ( x ) − f m ( x ) ∣ < ε
Az ( f n ) (f_n) ( f n ) E ⊂ H E \subset H E ⊂ H ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0 ∀ ε > 0 ∃ N ( ε ) \exists N(\varepsilon) ∃ N ( ε ) n ; m > N ( ε ) n; m > N(\varepsilon) n ; m > N ( ε ) ∀ x ∈ E \forall x \in E ∀ x ∈ E ∣ f n ( x ) − f m ( x ) ∣ < ε {|f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon} ∣ f n ( x ) − f m ( x ) ∣ < ε
Bezárás Tartalomjegyzék A fejezet / alfejezet tartalomjegyzéke