3.2 Definíció 3.7 [ Iránymenti derivált ] Legyen I ∈ R n I \in \Reals^n I ∈ R n f : I → R f: I \to \Reals f : I → R v ∈ R n \rvec v \in \Reals^n v ∈ R n
lim λ → 0 + f ( x + λ v ) − f ( x ) λ \lim_{\lambda \to 0^+} \frac{
f(\rvec x + \lambda \rvec v) - f(\rvec x)
}{
\lambda
} λ → 0 + lim λ f ( x + λ v ) − f ( x ) határérték és ez egy valós szám, akkor ezt az f f f a \rvec a a v \rvec v v
∂ v f ( x ) = lim λ → 0 + f ( x + λ v ) − f ( x ) λ . \partial_{\rvec v} f(\rvec x) = \lim_{\lambda \to 0^+} \frac{
f(\rvec x + \lambda \rvec v) - f(\rvec x)
}{
\lambda
}
\text. ∂ v f ( x ) = λ → 0 + lim λ f ( x + λ v ) − f ( x ) . Megjegyzés Amennyiben v \rvec v v n n n i i i
∂ f 1 ( x ) ∂ x i = ∂ i f ( x ) = ∂ x i f ( x ) = f x i ′ ( x ) = lim λ → 0 + f ( x 1 , … , x i − 1 , x i − λ , x i + 1 , … , x n ) − f ( x ) λ . \dfrac{\partial f_{1}(\rvec{x})}{\partial x_{i}}
= \partial_i f(\rvec x)
= \partial_{x_i} f(\rvec x)
= f'_{x_i}(\rvec x)
= \lim_{\lambda \to 0^+} \frac{
f(x_1, \ldots, x_{i-1}, x_i - \lambda, x_{i+1}, \ldots, x_n) - f(\rvec x)
}{
\lambda
}
\text. ∂ x i ∂ f 1 ( x ) = ∂ i f ( x ) = ∂ x i f ( x ) = f x i ′ ( x ) = λ → 0 + lim λ f ( x 1 , … , x i − 1 , x i − λ , x i + 1 , … , x n ) − f ( x ) . Példa Adjuk meg az f ( x ; y ) = x 3 + 5 x 2 y + 3 x y 2 − 12 y 3 + 5 x − 6 y + 7 f(x; y) = x^3 + 5x^2y + 3xy^2 - 12y^3 + 5x - 6y + 7 f ( x ; y ) = x 3 + 5 x 2 y + 3 x y 2 − 12 y 3 + 5 x − 6 y + 7 ( 1 ; 2 ) (1;2) ( 1 ; 2 )
Először határozzuk meg a parciális deriváltakat parametrikusan, majd
számoljuk ki az ( 1 ; 2 ) (1;2) ( 1 ; 2 )
∂ f ( x , y ) ∂ x = 3 x 2 + 10 x y + 3 y 2 + 5 ⇒ ∂ f ( x , y ) ∂ x ∣ ( 1 , 2 ) = 3 + 20 + 12 + 5 = 40 , ∂ f ( x , y ) ∂ y = 5 x 2 + 6 x y − 36 y 2 − 6 ⇒ ∂ f ( x , y ) ∂ y ∣ ( 1 , 2 ) = 5 + 12 − 144 − 6 = − 133. \begin{aligned}
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} & = 3x^{2}+10xy+3y^{2}+5
&& \qquad\Rightarrow\qquad
\left.\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\right|_{(1,2)} = 3+20+12+5 = 40,\\[6pt]
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} & = 5x^{2}+6xy-36y^{2}-6
&& \qquad\Rightarrow\qquad
\left.\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right|_{(1,2)} = 5+12-144-6 = -133.
\end{aligned} ∂ x ∂ f ( x , y ) ∂ y ∂ f ( x , y ) = 3 x 2 + 10 x y + 3 y 2 + 5 = 5 x 2 + 6 x y − 36 y 2 − 6 ⇒ ∂ x ∂ f ( x , y ) ( 1 , 2 ) = 3 + 20 + 12 + 5 = 40 , ⇒ ∂ y ∂ f ( x , y ) ( 1 , 2 ) = 5 + 12 − 144 − 6 = − 133. Definíció 3.8 [ Gradiens ] Legyen f : R n → R f: \Reals^n \to \Reals f : R n → R f f f a ( a 1 ; a 2 ; … ; a n ) \rvec a(a_{1}; a_{2}; \ldots; a_{n}) a ( a 1 ; a 2 ; … ; a n )
grad f ( a ) = ∇ f ( a ) = [ ∂ 1 f ( a ) ∂ 2 f ( a ) ⋮ ∂ n f ( a ) ] = ( ∂ f ( a ) ∂ x 1 ∂ f ( a ) ∂ x 2 ⋯ ∂ f ( a ) ∂ x n ) ⊺ \grad f(\rvec a) = \nabla f(\rvec a) = \begin{bmatrix}
\partial_1 f(\rvec a) \\
\partial_2 f(\rvec a) \\
\vdots \\
\partial_n f(\rvec a)
\end{bmatrix} = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial f(\rvec{a})}{\partial x_{1}} &
\dfrac{\partial f(\rvec{a})}{\partial x_{2}} &
\cdots &
\dfrac{\partial f(\rvec{a})}{\partial x_{n}}
\end{pmatrix}^\T grad f ( a ) = ∇ f ( a ) = ∂ 1 f ( a ) ∂ 2 f ( a ) ⋮ ∂ n f ( a ) = ( ∂ x 1 ∂ f ( a ) ∂ x 2 ∂ f ( a ) ⋯ ∂ x n ∂ f ( a ) ) ⊺ Megjegyzés A gyakrolatban az iránymenti deriváltakat a gradiens segítségével számítjuk:
∂ v f ( a ) = grad f ( a ) ⋅ v . \partial_{\rvec v} f(\rvec a) = \grad f(\rvec a) \cdot \rvec v
\text. ∂ v f ( a ) = grad f ( a ) ⋅ v . Példa Számítsuk ki az f ( x ; y ) = x 3 + 5 x 2 y + 3 x y 2 − 12 y 3 + 5 x − 6 y + 7 f(x; y) = x^3 + 5x^2y + 3xy^2 - 12y^3 + 5x - 6y + 7 f ( x ; y ) = x 3 + 5 x 2 y + 3 x y 2 − 12 y 3 + 5 x − 6 y + 7 v ( 3 ; 4 ) \rvec v(3;4) v ( 3 ; 4 ) ( 1 ; 2 ) (1;2) ( 1 ; 2 )
A gradiens az előző példában számolt parciális deriváltak alapján:
grad f ( 1 ; 2 ) = [ 40 − 133 ] . \grad f(1;2) = \begin{bmatrix}
40 \\ -133
\end{bmatrix}
\text. grad f ( 1 ; 2 ) = [ 40 − 133 ] . Az iránymenti derivált számításához még szükségünk van az v \rvec v v
∥ v ∥ = 3 2 + 4 2 = 5 ⇒ e ^ v = v ∥ v ∥ = 1 5 [ 3 4 ] = [ 3 / 5 4 / 5 ] . \|\rvec v\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5
\quad\Rightarrow\quad
\uvec e_v = \frac{\rvec v}{\|\rvec v\|} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix}
3 \\ 4
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
3/5 \\ 4/5
\end{bmatrix}
\text. ∥ v ∥ = 3 2 + 4 2 = 5 ⇒ e ^ v = ∥ v ∥ v = 5 1 [ 3 4 ] = [ 3/5 4/5 ] . Az iránymenti derivált:
∂ v f ( 1 ; 2 ) = grad f ( 1 ; 2 ) ⋅ v = [ 40 − 133 ] ⋅ [ 3 / 5 4 / 5 ] = 40 ⋅ 3 / 5 − 133 ⋅ 4 / 5 = − 82,4 . \partial_{\rvec v} f(1;2) = \grad f(1;2) \cdot \rvec v = \begin{bmatrix}
40 \\ -133
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
3/5 \\ 4/5
\end{bmatrix} = 40 \cdot 3/5 - 133 \cdot 4/5 = -82{,}4
\text. ∂ v f ( 1 ; 2 ) = grad f ( 1 ; 2 ) ⋅ v = [ 40 − 133 ] ⋅ [ 3/5 4/5 ] = 40 ⋅ 3/5 − 133 ⋅ 4/5 = − 82 , 4 . Definíció 3.9 [ Jacobi mátrix ] Legyen f : R n → R k \rvec f: \Reals^n \to \Reals^k f : R n → R k f ′ ( a ) = J f ( a ) \rvec f'(\rvec a) = \rmat J \rvec f(\rvec a) f ′ ( a ) = J f ( a ) J ∈ M k × n \rmat J \in \mathscr M_{k \times n} J ∈ M k × n J \rmat J J f \rvec f f
J ( a ) = [ ∂ f 1 ( x ) ∂ x 1 ∂ f 1 ( x ) ∂ x 2 ⋯ ∂ f 1 ( x ) ∂ x n ∂ f 2 ( x ) ∂ x 1 ∂ f 2 ( x ) ∂ x 2 ⋯ ∂ f 2 ( x ) ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f k ( x ) ∂ x 1 ∂ f k ( x ) ∂ x 2 ⋯ ∂ f k ( x ) ∂ x n ] ∣ x = a = [ grad ⊺ f 1 ( a ) ∂ f 1 ( x ) ∂ x 1 grad ⊺ f 2 ( a ) ∂ f 1 ( x ) ∂ x 1 ⋮ grad ⊺ f k ( a ) ∂ f 1 ( x ) ∂ x 1 ] \rmat J(\rvec a) = \begin{bmatrix}
\dfrac{\partial f_{1}(\rvec{x})}{\partial x_{1}} &
\dfrac{\partial f_{1}(\rvec{x})}{\partial x_{2}} &
\cdots &
\dfrac{\partial f_{1}(\rvec{x})}{\partial x_{n}} \\[12pt]
\dfrac{\partial f_{2}(\rvec{x})}{\partial x_{1}} &
\dfrac{\partial f_{2}(\rvec{x})}{\partial x_{2}} &
\cdots &
\dfrac{\partial f_{2}(\rvec{x})}{\partial x_{n}} \\[12pt]
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[12pt]
\dfrac{\partial f_{k}(\rvec{x})}{\partial x_{1}} &
\dfrac{\partial f_{k}(\rvec{x})}{\partial x_{2}} &
\cdots &
\dfrac{\partial f_{k}(\rvec{x})}{\partial x_{n}} \\
\end{bmatrix}_{|\rvec x = \rvec a} = \begin{bmatrix}
\grad^\T f_1(\rvec a) \vphantom{\dfrac{\partial f_{1}(\rvec{x})}{\partial x_{1}}} \\[12pt]
\grad^\T f_2(\rvec a) \vphantom{\dfrac{\partial f_{1}(\rvec{x})}{\partial x_{1}}} \\[12pt]
\vdots \\[12pt]
\grad^\T f_k(\rvec a) \vphantom{\dfrac{\partial f_{1}(\rvec{x})}{\partial x_{1}}} \\
\end{bmatrix} J ( a ) = ∂ x 1 ∂ f 1 ( x ) ∂ x 1 ∂ f 2 ( x ) ⋮ ∂ x 1 ∂ f k ( x ) ∂ x 2 ∂ f 1 ( x ) ∂ x 2 ∂ f 2 ( x ) ⋮ ∂ x 2 ∂ f k ( x ) ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ∂ x n ∂ f 1 ( x ) ∂ x n ∂ f 2 ( x ) ⋮ ∂ x n ∂ f k ( x ) ∣ x = a = grad ⊺ f 1 ( a ) ∂ x 1 ∂ f 1 ( x ) grad ⊺ f 2 ( a ) ∂ x 1 ∂ f 1 ( x ) ⋮ grad ⊺ f k ( a ) ∂ x 1 ∂ f 1 ( x ) Tétel 3.4 [ Young-tétel ] Legyen adott az I ⊂ R n I \subset \Reals^n I ⊂ R n f : H → R f: H \to \Reals f : H → R a ∈ I \rvec a \in I a ∈ I a \rvec a a f f f p p p
∂ i ∂ j f ( a ) = ∂ j ∂ i f ( a ) , i ; j ∈ { 1 ; 2 ; … ; n } , \partial_i \partial_j f(\rvec a) = \partial_j \partial_i f(\rvec a)
\text,\quad
i;j \in \{1;2;\ldots;n\}
\text, ∂ i ∂ j f ( a ) = ∂ j ∂ i f ( a ) , i ; j ∈ { 1 ; 2 ; … ; n } , azaz a parciális deriváltak sorrendje p p p