1.3Lineáris egyenletrendszerek

Definíció 1.24 [ Lineáris egyenletrendszer ]

Véges sok elsőfokú egyenletet és véges sok ismeretlent tartalmazó egyenletrendszert lineáris egyenletrendszernek nevezünk.

Az mm egyenletből és nn ismeretlenből álló lineáris egyenletrendszer általános alakja:

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,⋮⋮⋮⋮⋮am1x1+am2x2+…+amnxn=bm, \begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1n} x_{n} & = & b_{1}\text, \\[1mm] a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2n} x_{n} & = & b_{2}\text, \\[1mm] \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\[1mm] a_{m1} x_{1} & + & a_{m2} x_{2} & + & \dots & + & a_{mn} x_{n} & = & b_{m}\text, \end{array}

ahol aija_{ij} együtthatók, bjb_{j} konstansok, xjx_{j} ismeretlenek.

Lineáris egyenletrendszerek csoportosítása:

  • A lineáris egyenletrendszert megoldhatónak nevezzük, ha létezik megoldása.
  • A lineáris egyenletrendszert ellentmondónak nevezzük, ha nincs megoldása.
  • A lineáris egyenletrendszert határozottnak nevezzük, ha csupán egyetlen megoldása van.
  • A lineáris egyenletrendszert határozatlannak nevezzük, ha végtelen sok megoldása van.

Definíció 1.25 [ Ekvivalens lineáris egyenletrendszerek ]

Két lineáris egyenletrendszer ekvivalens, ha a megoldáshalmazuk megegyezik.

Megjegyzés

Az ekvivalencia szemponjából az egyenletek és az ismeretlenek sorrendje nem számít.

Állítás

Az eredetivel ekvivalens lineáris egyenletrendszert kapunk, ha az egyenletrendszer valamelyik egyenletét egy nemnulla számmal szorozzuk, vagy valamelyik egyenlethez a lineáris egyenletrendszer egy másik egyenletét hozzáadjuk.

Lineáris egyenletrendszer mátrixos alakja:

Egy lineáris egyenletrendszer felírható Ax=b\rmat A \rvec x = \rmat b alakban, ahol A\rmat A az együttható mátrix, x\rvec x az ismeretlenek vektora, b\rvec b pedig a konstans vektor.

[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn]⏟A[x1x2⋮xn]⏟x=[b1b2⋮bn]⏟b \underbrace{\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}}_{\rmat A} \underbrace{\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}}_{\rvec x} = \underbrace{\begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix}}_{\rvec b}

Tétel 1.6 [ LER megoldhatósága ]

Az Ax=b\rmat A \rvec x = \rvec b lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha rg⁡(A)=rg⁡(A∣b)\rg(\rmat A) = \rg(\rmat A | \rvec b), ahol az (A∣b)(\rmat A | \rvec b) mátrixot kibővített mátrixnak nevezzük.

A feltétel mátrixosan:

rg⁡[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn]=rg⁡[a11a12⋯a1nb1a21a22⋯a2nb2⋮⋮⋱⋮⋮am1am2⋯amnbn]. \rg \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} = \rg \left[\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_n \end{array}\right]\text.

Definíció 1.26 [ Homogén lineáris egyenletrendszer ]

Az Ax=b\rmat A \rvec x = \rvec b lineáris egyenletrendszer homogénnek mondjuk, ha b=0\rvec b = \nvec.

Ha b≠0\rvec b \neq \nvec, akkor a lineáris egyenletrendszer inhomogén.

Megjegyzés

A feltételből következik, hogy homogén lineáris egyenletrendszer (b=0\rvec b = \nvec) mindig megoldható, hiszen az együttható mátrixból és egy nullvektorból képzett kibővített mátrix rangja mindig meg fog egyezni az együttható mátrix rangjával.

Megjegyzés

Tekintsük az nn egyenletből és nn ismeretlenből álló homogén lineáris egyenletrendszert. Ekkor ha az A\rmat A mátrix reguláris, akkor az egyenletrendszernek csak a triviális megoldása létezik. Ha az A\rmat A szinguláris, akkor létezik nemtriviális megoldás is.

Megoldási módszerek:

  • Ha az A\rmat A mátrix reguláris, akkor invertálható és az x=A−1b\rvec x = \rmat A^{-1} \rvec b.
  • Cramer-szabály: ha az A\rmat A mátrix reguláris, akkor az együtthatók az alábbi módon számíthatóak: xi=det⁡Aidet⁡A, x_i = \frac{\det \rmat A_i}{\det \rmat A} \text, ahol az Ai\rmat A_i mátrixot úgy képezzük, hogy az ii-edik oszlopába b\rvec b vektort írjuk be.
  • Gauss-elimináció: sorműveletekkel alakítjuk a kibővített mátrixot: [a11a12⋯a1nb1a21a22⋯a2nb2⋮⋮⋱⋮⋮am1am2⋯amnbn]∼[□□⋯□□0□⋯□□⋮⋮⋱⋮⋮00⋯∘∘] \left[\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_n \end{array}\right] \quad\sim\quad \left[\begin{array}{cccc|c} \square & \square & \cdots & \square & \square \\ 0 & \square & \cdots & \square & \square \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \circ & \circ \end{array}\right]
Előző oldalMátrixokKövetkező oldalLineáris leképezések