3Többváltozós analízis

Eddigi tanulmányaink során olyan függvényekkel foglalkoztunk, amelyek egyetlen változótól függtek. Ebben a fejezetben az eddig vizsgált egyváltozós függvények síkbeli görbéi után a többdimenziós terek világába lépünk. Célunk, hogy a differenciál- és integrálszámítás jól ismert eszközeit átültessük és kibővítsük olyan függvényekre, amelyek kettő vagy több független változótól függenek. Ez a lépés lehetővé teszi számunkra, hogy a valós világ összetett, több tényezős jelenségeit matematikailag is precízebben tudjuk modellezni.

Először az egyváltozós kalkulusból már ismert alapfogalmakat általánosítjuk. A tárgyalást a topológiai alapfogalmak, a határérték és a folytonosság általánosításával kezdjük. Mivel egy pontot már nem csak balról vagy jobbról, hanem végtelen sok irányból megközelíthetünk, ez a konvergencia vizsgálatát lényegesen komplexebbé teszi.

Ezt követően bevezetjük a differenciálhatóság többváltozós koncepcióját. A derivált egyváltozós fogalmát az iránymenti derivált általánosítja, mely a függvény lokális változását írja le tetszőleges irány mentén. Egy speciális iránymenti derivált a parciális derivált, amely esetén a koordináta-tengelyek irányában elemezzük a változást. A totális differenciálhatóság precíz definíciója a függvény lineáris approximálhatóságán alapul, amelynek mátrixreprezentációja a Jacobi-mátrix.

A differenciálszámítás elméletét a szélsőérték-feladatok megoldására alkalmazzuk. Kidolgozunk egy szisztematikus eljárást a függvények lokális maximum- és minimumhelyeinek azonosítására. A lokális extrémumok létezésének szükséges feltétele a stacionárius pontok megtalálása, az elégséges feltételét pedig a függvény második parciális deriváltjaiból képzett Hesse-mátrix definitségének vizsgálatával adjuk meg. A gyakorlati problémákban a szélsőértéket egy vagy több feltétel teljesülése mellett keressük. Az ilyen, ún. feltételes szélsőérték problémák megoldására a Lagrange-multiplikátoros módszert ismertetjük.

Végül, az integrálás fogalmát is általánosítjuk. A görbe alatti terület helyett immár felületek alatti térfogatokat és más, magasabb dimenziós tartományokhoz rendelt mennyiségeket számítunk ki a többszörös integrálok segítségével. Ez az eszköz kulcsfontosságú lesz sík- és térbeli alakzatok geometriai és fizikai jellemzőinek (pl. terület, térfogat, tömegközéppont, tehetetlenségi nyomaték) meghatározásában.