2Függvénysorozatok, függvénysorok
Ebben a fejezetben a számsorozatokról (numerikus sorozatokról) és a sorokról tanult ismereteinket bővítjük, emeljük magasabb szintre: függvényekből alkotott sorozatokkal és sorokkal foglalkozunk. Míg egy számsorozat esetén egyetlen határértékét létezését vizsgáltuk, addig egy függvénysorozat értelmezési tartományának pontjaiban vizsgáljuk a konvergenciát. Azon pontok halmazát, ahol a függvénysorozat konvergens, konvergenciahalmaznak hívjuk. Ezekben a pontokban a függvénysorozat a határfüggvényhez tart. Ahogy numerikus sornál is külön nevet adtunk a határértéknek (sorösszeg), úgy függvénysorok esetén összegfüggvényről beszélünk. Megvizsgáljuk, hogy ez a konvergencia hogyan valósulhat meg, és bevezetjük a pontonkénti és az egyenletes konvergencia kulcsfontosságú fogalmait. Látni fogjuk, hogy az utóbbi egy erős tulajdonság, amely lehetővé teszi, hogy a függvények olyan kellemes tulajdonságai, mint a folytonosság vagy az integrálhatóság, "öröklődjenek" a határfüggvényre, összegfüggvényre. Megismerkedünk a hatványsorokkal, amelyek esetén a konvergencia könnyebben vizsgálható, nem egyszer a numerikus sorok esetén megismert eljárásoknak köszönhetően.
A fejezet második felében fontos és széles körben alkalmazott függvénysorokkal foglalkozunk. A Taylor-sorok speciális hatványsorok, amelyek a korábban megismert Taylor-polinomok általánosításaiként is tekinthetők. Használatukkal bonyolult függvényeket közelíthetünk polinomokkal. Ez a technika a mérnöki számításoktól a fizikai modellezésig számtalan területen elengedhetetlen.
A Fourier-sorok használata a periodikus függvényekkel való számolásokat könnyítheti meg, azok szinuszok és koszinuszok végtelen összegeként való előállításával foglalkoznak. A Fourier-sorok alapvető eszközt jelentenek a jelenségek frekvenciakomponensekre való bontásához, így kulcsfontosságúak a jelfeldolgozásban, az akusztikában és a képfeldolgozásban.
Ez a fejezet tehát ajtót nyit a függvények egy új, dinamikusabb szemléletére, amely elengedhetetlen a modern matematika és alkalmazásainak megértéséhez.