1.1Alapfogalmak

Definíció 1.1 [ Csoport ]

Legyen GG nemüres halmaz, és ∘\circ egy művelet. Ekkor a (G;∘)(G; \circ) csoport, ha teljesülnek az alábbiak:

  1. ∀a;b;c∈G:(a∘b)∘c=a∘(b∘c)\forall a; b; c \in G: (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c), (asszociativitás)
  2. ∃e∈G:∀a∈G:e∘a=a∘e=a\exists e \in G: \forall a \in G: e \circ a = a \circ e = a, (egységelem)
  3. ∀a∈G:∃a−1∈G:a∘a−1=a−1∘a=e\forall a \in G: \exists a^{-1} \in G: a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e. (inverz elem)

Megjegyzés

Ha a ∘\circ művelet kommutatív, azaz ∀a,b∈G:a∘b=b∘a\forall a, b \in G: a \circ b = b \circ a, , akkor a csoportot Abel-csoportnak nevezzük.

Példa

A (R;⋅)(\mathbb R; \cdot), (Q;+)(\mathbb Q; +), (C;+)(\mathbb C; +) mindegyike Abel-csoport.

Nem csoport (N;+)(\mathbb N; +), hiszen nincs inverz elem.

(Q∗;+)(\mathbb Q^*; +) sem csoport, mert nem létezik egységelem.

Definíció 1.2 [ Gyűrű ]

Legyen RR nemüres halmaz, és ∘,+\circ, + két művelet. Ekkor a (R;+,∘)(R; +, \circ) gyűrű, ha teljesülnek az alábbiak:

  1. (R;+)(R; +) Abel-csoport,
  2. ∀a;b;c∈R:(a∘b)∘c=a∘(b∘c)\forall a; b; c \in R: (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c), (asszociativitás)
  3. teljesül a disztributivitás:
    • ∀a;b;c∈R:a∘(b+c)=a∘b+a∘c\forall a; b; c \in R: a \circ (b + c) = a \circ b + a \circ c, (∘\circ disztributív ++-ra)
    • ∀a;b;c∈R:(a+b)∘c=a∘c+b∘c\forall a; b; c \in R: (a + b) \circ c = a \circ c + b \circ c. (++ disztributív ∘\circ-ra)

Definíció 1.3 [ Test ]

Legyen TT nemüres halmaz, és ∘,+\circ, + két művelet. Ekkor a (T;+,∘)(T; +, \circ) test, ha teljesülnek az alábbiak:

  1. (T;+)(T; +) Abel-csoport,
  2. ∀a;b;c∈T:(a∘b)∘c=a∘(b∘c)\forall a; b; c \in T: (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c), (asszociativitás)
  3. ∃e∈T:∀a∈F:e∘a=a∘e=a\exists e \in T: \forall a \in F: e \circ a = a \circ e = a, (egységelem)
  4. ∀a∈T∃a−1∈T:a∘a−1=a−1∘a=e\forall a \in T \exists a^{-1} \in T: a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e, (inverzelem)
  5. teljesül a disztributivitás.

Példa

A (R;+,⋅)(\mathbb R; +, \cdot), (Q;+,⋅)(\mathbb Q; +, \cdot), (C;+,⋅)(\mathbb C; +, \cdot) mindegyike test.

Definíció 1.4 [ Vektortér ]

Legyen VV nemüres halmaz, és ∘,+\circ, + két művelet, TT test. A (V;+,∘)(V; +, \circ) a TT test feletti vektortér, ha teljesülnek az alábbiak:

  1. (V;+)(V; +) Abel-csoport,
  2. ∀λ;μ∈T  ∧  ∀x∈V:(λ∘μ)∘x=λ∘(μ∘x)\forall \lambda; \mu \in T \; \land \; \forall \rvec x \in V: (\lambda \circ \mu) \circ \rvec x = \lambda \circ (\mu \circ \rvec x),
  3. ha ε\varepsilon a TT-beli egységelem, akkor ∀x∈V:ε∘x=x\forall \rvec x \in V: \varepsilon \circ \rvec x = \rvec x,
  4. teljesül a disztributivitás:
    • ∀λ;μ∈T  ∧  ∀x∈V:λ∘(x+y)=λ∘x+λ∘y\forall \lambda; \mu \in T \; \land \; \forall \rvec x \in V: \lambda \circ (\rvec x + \rvec y) = \lambda \circ \rvec x + \lambda \circ \rvec y,
    • ∀λ;μ∈T  ∧  ∀x∈V:(λ+μ)∘x=λ∘x+μ∘x\forall \lambda; \mu \in T \; \land \; \forall \rvec x \in V: (\lambda + \mu) \circ \rvec x = \lambda \circ \rvec x + \mu \circ \rvec x.

Példa

A legfeljebb nn-edfokú polinomok a skalárral való szorzásra és az összeadásra vektorteret alkotnak.

A függvények az összeadásra és a skalárral való szorzásra vektorteret alkotnak.

Definíció 1.5 [ Vektor ]

A vektortér elemeit vektoroknak nevezzük. Jelölés: x\rvec x, vagy x‾\underbar x.

Állítás

A zéruselem létezése egyértelmű.

Bizonyítás

Tegyük fel, hogy 0\nvec és 0^\hat \nvec különböző zéruselemek, vagyis 0≠0^\nvec \neq \hat \nvec. Ebben az esetben

0=0+0^=0^. \nvec = \nvec + \hat \nvec = \hat \nvec \text.

Ez ellentmondás, tehát a zéruselem egyértelmű.

Állítás

Az ellentett elem létezése egyértelmű.

Bizonyítás

Tegyük fel, hogy −v-\rvec v és −v^-\hat{\rvec v} egyaránt v\rvec v ellentettjei, valamint −v≠−v^-\rvec v \neq -\hat{\rvec v}. Ebben az esetben

−v^=(−v+v)+(−v^)=(−v)+(v+(−v^))=−v. -\hat{\rvec v} = (-\rvec v + \rvec v) + (-\hat{\rvec v}) = (-\rvec v) + (\rvec v + (-\hat{\rvec v})) = -\rvec v \text.

Ez ellentmondás, tehát az ellentett elem egyértelmű.

Állítás

0-val való szorzás: ∀v∈V:0⋅v=0\forall \rvec v \in V: 0 \cdot \rvec v = \nvec.

Állítás

Nullvektorral való szorzás: ∀λ∈T:λ⋅0=0\forall \lambda \in T: \lambda \cdot \nvec = \nvec.

Állítás

λ⋅v=0⟺λ=0  ∨  v=0\lambda \cdot \rvec v = \nvec \quad \Longleftrightarrow \quad \lambda = 0 \; \lor \; \rvec v = \nvec

Definíció 1.6 [ Lineáris függetlenség ]

A (V;+;λ)(V; +; \lambda) vektortér v1,v2,…,vn\rvec v_1, \rvec v_2, \ldots, \rvec v_n vektorait lineárisan függetlennek mondjuk, ha a

λ1v1+λ2v2+…+λnvn=0 \lambda_1 \rvec v_1 + \lambda_2 \rvec v_2 + \ldots + \lambda_n \rvec v_n = \nvec

vektoregyenletnek csak a triviális megoldása létezik, azaz λ1=λ2=…=λn=0\lambda_1 = \lambda_2 = \ldots = \lambda_n = 0.

Ha az egyenletnek nem csak a triviális megoldása létezik, akkor a vektorok lineárisan függők.

Definíció 1.7 [ Altér ]

Legyen (V;+;λ)(V; +; \lambda) R\mathbb R feletti vektortér, valamint ∅≠L⊂V\emptyset \neq L \subset V. LL-t altérnek nevezzük a VV-ben, ha (L;+;λ)(L; +; \lambda) ugyancsak vektortér.

Példa

A polinomok vektorterének alterte a legfeljebb nn-edfokú polinomok vektortere.

Állítás

Alterek metszete ugyancsak altér. Alterek uniója azonban általában nem altér.

Definíció 1.8 [ Generátorrendszer ]

Legyen VV vektortér, valamint ∅≠G⊂V\emptyset \neq G \subset V. GG által generált altérnek nevezzük azt a legszűkebb alteret, amely tartalmazza GG-t. Jele: L(G)\mathcal L(G).

GG generátorrendszere VV-nek, ha L(G)=V\mathcal L(G) = V.

Megjegyzés

Ha GG véges generátorrendszere VV-nek, akkor GG-t végesen generált vektorrendszernek nevezzük.

Definíció 1.9 [ Bázis ]

A VV vektortér egy lineárisan független generátorrendszerét a VV bázisának nevezzük.

Állítás

Végesen generált vektortérben bármely két bázis azonos tagszámú.

Definíció 1.10 [ Vektortér dimenziója ]

Végesen generált vektortér dimenzióján a bázisainak közös tagszámát értjük.

Állítás

Legyen {b1;b2;… ;bn}\{ \rvec b_1; \rvec b_2; \dots; \rvec b_n \} a VV vektortér egy bázisa. Ekkor tetszőleges VV-beli vektor egyértelműen előállítható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként. Azaz ∀v∈V:∃!(λ1;λ2;… ;λn)\forall \rvec v \in V: \exists! (\lambda_1; \lambda_2; \dots; \lambda_n), hogy

v=λ1b1+λ2b2+…+λnbn. \rvec v = \lambda_1 \rvec b_1 + \lambda_2 \rvec b_2 + \ldots + \lambda_n \rvec b_n \text.

A (λ1;λ2;… ;λn\lambda_1; \lambda_2; \dots; \lambda_n) szám nn-est az v\rvec v vektor {b1;b2;… ;bn}\{ \rvec b_1; \rvec b_2; \dots; \rvec b_n \} bázisaira vonatkozó koordinátáinak nevezzük.

Bizonyítás [ Egzisztencia ]

{b1;b2;… ;bn}\{ \rvec b_1; \rvec b_2; \dots; \rvec b_n \} lineárisan függetlenek, mert bázis. Ezért {v,b1;b2;…;bn}\{ \rvec v, \rvec b_1; \rvec b_2; \ldots; \rvec b_n \} már lineárisan függő, így a μv+ξ1b1+ξ2b2+…ξnbn=0\mu \rvec v + \xi_1 \rvec b_1 + \xi_2 \rvec b_2 + \ldots \xi_n \rvec b_n = \nvec vektoregyenletnek létezik triviálistól különböző megoldása, azaz nem lehet (μ;ξ1;ξ2;…;ξn)(\mu; \xi_1; \xi_2; \ldots; \xi_n) minden eleme egyszerre 0.

Tehát μ≠0\mu \neq 0, mert ellenkező esetben ξ1=ξ2=…=ξn=0\xi_1 = \xi_2 = \ldots = \xi_n = 0 állna fent, így oszthatjuk az egyenletet μ\mu-vel:

v=(−ξ1μ)⏟:=λ1b1+(−ξ2μ)⏟:=λ2b2+⋯+(−ξnμ)⏟:=λnbn. \rvec v = \underbrace{\left(-\frac{\xi_1}{\mu}\right)}_{:= \lambda_1} \rvec b_1 + \underbrace{\left(-\frac{\xi_2}{\mu}\right)}_{:= \lambda_2} \rvec b_2 + \dots + \underbrace{\left(-\frac{\xi_n}{\mu}\right)}_{:= \lambda_n} \rvec b_n \text.

Bizonyítás [ Unicitás ]

Tegyük fel, hogy a (λ1;λ2;…;λn)(\lambda_1; \lambda_2; \ldots; \lambda_n) és a (μ1;μ2;…;μn)(\mu_1; \mu_2; \ldots; \mu_n) is a v\rvec v koordinátái a {b1;b2;…;bn}\{ \rvec b_1; \rvec b_2; \ldots; \rvec b_n \} bázisban, azaz

v=∑i=1nλibi eˊs v=∑i=1nμibi. \rvec v = \sum_{i=1}^n \lambda_i \rvec b_i \text{ és } \rvec v = \sum_{i=1}^n \mu_i \rvec b_i \text.

Vonjuk ki egymásból a két egyenletet:

0=(λ1−μ1)⏟0b1+(λ2−μ2)⏟0b2+…+(λn−μn)⏟0bn. \nvec = \underbrace{(\lambda_1 - \mu_1)}_{0} \rvec b_1 + \underbrace{(\lambda_2 - \mu_2)}_{0} \rvec b_2 + \ldots + \underbrace{(\lambda_n - \mu_n)}_{0} \rvec b_n \text.

Ezzel ellentmondásra jutunk, mivel {b1;b2;…;bn}\{ \rvec b_1; \rvec b_2; \ldots; \rvec b_n \} bázis, ezért a nullvektornak csak triviális előállítása létezik, ami az együtthatók 0 voltát vonná maga után, az pedig a megfelelő koordináták egyenlőségével ekvivalens. A feltevés tehát hamis.

Előző oldalLineáris algebraKövetkező oldalMátrixok