Bezárás Matematika G2 A tárgyhoz tartozó jegyzet fejezetei és alfejezetei
Menü > < Tartalomjegyzék
3.3 Definíció 3.10 [ Konvex halmaz ] Legyen H ⊂ R n H \subset \Reals^n H ⊂ R n H H H a ; b ∈ H \rvec a; \rvec b \in H a ; b ∈ H λ ∈ [ 0 ; 1 ] \lambda \in [0; 1] λ ∈ [ 0 ; 1 ] λ a + ( 1 − λ ) b ∈ H \lambda \rvec a + (1 - \lambda) \rvec b \in H λ a + ( 1 − λ ) b ∈ H
Megjegyzés Ami konvex, az összefüggő, de fordítva nem igaz.
Tétel 3.5 [ Lagrange-tétel ] Legyen f : [ a ; b ] → R n f: [a; b] \to \Reals^n f : [ a ; b ] → R n ( a ; b ) (a; b) ( a ; b ) ξ ∈ ( a ; b ) \xi \in (a; b) ξ ∈ ( a ; b )
∥ f ( b ) − f ( a ) ∥ = ∥ f ′ ( ξ ) ∥ ⋅ ( b − a ) . \|f(b) - f(a)\| = \|f'(\xi)\| \cdot (b - a)
\text. ∥ f ( b ) − f ( a ) ∥ = ∥ f ′ ( ξ ) ∥ ⋅ ( b − a ) . Bizonyítás Legyen φ : [ a ; b ] → R \varphi: [a; b] \to \Reals φ : [ a ; b ] → R φ ( t ) : = ⟨ f ( b ) − f ( a ) ; f ( t ) ⟩ \varphi(t) := \langle f(b) - f(a); f(t) \rangle φ ( t ) := ⟨ f ( b ) − f ( a ) ; f ( t )⟩
φ ( b ) − φ ( a ) = ⟨ f ( b ) − f ( a ) ; f ( b ) ⟩ − ⟨ f ( b ) − f ( a ) ; f ( a ) ⟩ = = ⟨ f ( b ) − f ( a ) ; f ( b ) − f ( a ) ⟩ = ∥ f ( b ) − f ( a ) ∥ 2 . \begin{align*}
\varphi(b) - \varphi(a)
& = \langle f(b) - f(a); f(b) \rangle - \langle f(b) - f(a); f(a) \rangle = \\
& = \langle f(b) - f(a); f(b) - f(a) \rangle
= \|f(b) - f(a)\|^2
\text.
\end{align*} φ ( b ) − φ ( a ) = ⟨ f ( b ) − f ( a ) ; f ( b )⟩ − ⟨ f ( b ) − f ( a ) ; f ( a )⟩ = = ⟨ f ( b ) − f ( a ) ; f ( b ) − f ( a )⟩ = ∥ f ( b ) − f ( a ) ∥ 2 . A Lagrange-féle középértéktétel felírva φ \varphi φ ∃ ξ ∈ ( a ; b ) \exists\xi \in (a; b) ∃ ξ ∈ ( a ; b )
φ ( b ) − φ ( a ) = φ ′ ( ξ ) ⋅ ( b − a ) e ˊ s φ ′ ( t ) = ⟨ f ( b ) − f ( a ) ; f ′ ( t ) ⟩ . \varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(\xi) \cdot (b - a)
\quad \text{és} \quad
\varphi'(t) = \langle f(b) - f(a); f'(t) \rangle
\text. φ ( b ) − φ ( a ) = φ ′ ( ξ ) ⋅ ( b − a ) e ˊ s φ ′ ( t ) = ⟨ f ( b ) − f ( a ) ; f ′ ( t )⟩ . Ekkor
φ ( b ) − φ ( a ) = ⟨ f ( b ) − f ( a ) , f ′ ( ξ ) ⟩ ⋅ ( b − a ) ≤ ∥ f ( b ) − f ( a ) ∥ ⋅ ∥ f ′ ( ξ ) ∥ ⋅ ( b − a ) . \varphi(b) - \varphi(a) = \langle f(b) - f(a), f'(\xi) \rangle \cdot (b - a)
\leq
\|f(b) - f(a)\| \cdot \|f'(\xi)\| \cdot (b - a)
\text. φ ( b ) − φ ( a ) = ⟨ f ( b ) − f ( a ) , f ′ ( ξ )⟩ ⋅ ( b − a ) ≤ ∥ f ( b ) − f ( a ) ∥ ⋅ ∥ f ′ ( ξ ) ∥ ⋅ ( b − a ) . Tehát
∥ f ( b ) − f ( a ) ∥ 2 ≤ ∥ f ( b ) − f ( a ) ∥ ⋅ ∥ f ′ ( ξ ) ∥ ⋅ ( b − a ) \|f(b) - f(a)\|^2 \leq \|f(b) - f(a)\| \cdot \|f'(\xi)\| \cdot (b - a) ∥ f ( b ) − f ( a ) ∥ 2 ≤ ∥ f ( b ) − f ( a ) ∥ ⋅ ∥ f ′ ( ξ ) ∥ ⋅ ( b − a ) Az egyszerűsítés után következik, hogy
∥ f ( b ) − f ( a ) ∥ ≤ ∥ f ′ ( ξ ) ∥ ⋅ ( b − a ) . \|f(b) - f(a)\| \leq \|f'(\xi)\| \cdot (b - a)
\text. ∥ f ( b ) − f ( a ) ∥ ≤ ∥ f ′ ( ξ ) ∥ ⋅ ( b − a ) . Tétel 3.6 [ Lagrange-tétel többváltozós függvényekre ] Legyen H ⊂ R l H \subset \Reals^l H ⊂ R l f : H → R m f: H \to \Reals^m f : H → R m H H H f f f H H H a ; b ∈ H \rvec a; \rvec b \in H a ; b ∈ H ξ ∈ H \xi \in H ξ ∈ H a \rvec a a b \rvec b b
∥ f ( b ) − f ( a ) ∥ ≤ ∥ f ′ ( ξ ) ∥ ⋅ ∥ b − a ∥ . \|f(\rvec b) - f(\rvec a)\| \leq \|f'(\xi)\| \cdot \|\rvec b - \rvec a\|
\text. ∥ f ( b ) − f ( a ) ∥ ≤ ∥ f ′ ( ξ ) ∥ ⋅ ∥ b − a ∥ . Bizonyítás Legyen γ : [ 0 ; 1 ] → H \gamma: [0; 1] \to H γ : [ 0 ; 1 ] → H a \rvec a a b \rvec b b γ ( t ) = t a + ( 1 − t ) b \gamma(t) = t \rvec a + (1 - t) \rvec b γ ( t ) = t a + ( 1 − t ) b f ∘ γ f \circ \gamma f ∘ γ
Definíció 3.11 [ Lipschitz-feltétel ] Legyen f : H ⊂ R m → R n f: H \subset \Reals^m \to \Reals^n f : H ⊂ R m → R n ∀ x ∈ H \forall \rvec x \in H ∀ x ∈ H ∥ f ′ ( x ) ∥ M \|f'(\rvec x)\| M ∥ f ′ ( x ) ∥ M ∥ f ( b ) − f ( a ) ∥ ≤ M ∥ b − a ∥ \|f(\rvec b) - f(\rvec a)\| \leq M \|\rvec b - \rvec a\| ∥ f ( b ) − f ( a ) ∥ ≤ M ∥ b − a ∥ f f f
Tétel 3.7 [ Cauchy-tétel ] Legyen adott a ∈ R n \rvec a \in \Reals^n a ∈ R n r r r B r ( a ) B_r(\rvec a) B r ( a ) f : B r ( a ) → R f : B_r(\rvec a) \to \Reals f : B r ( a ) → R B r ( a ) B_r(\rvec a) B r ( a ) b ∈ B r ( a ) \rvec b \in B_r(\rvec a) b ∈ B r ( a ) ξ ∈ B r ( a ) \xi \in B_r(\rvec a) ξ ∈ B r ( a )
∥ b − a ∥ > ∥ ξ − a ∥ e ˊ s ∥ f ( b ) − f ( a ) ∥ = ∑ i = 1 n ∂ i f ( ξ ) ( b i − a i ) , \|\rvec b - \rvec a\| > \|\xi - \rvec a\|
\quad \text{és} \quad
\|\rvec f(\rvec b) - \rvec f(\rvec a)\| = \sum_{i=1}^n \partial_i f(\xi) (b_i - a_i)
\text, ∥ b − a ∥ > ∥ ξ − a ∥ e ˊ s ∥ f ( b ) − f ( a ) ∥ = i = 1 ∑ n ∂ i f ( ξ ) ( b i − a i ) , ahol b = ( b 1 ; b 2 ; … ; b n ) \rvec b = (b_1; b_2; \ldots; b_n) b = ( b 1 ; b 2 ; … ; b n ) a = ( a 1 ; a 2 ; … ; a n ) \rvec a = (a_1; a_2; \ldots; a_n) a = ( a 1 ; a 2 ; … ; a n )
Bezárás Tartalomjegyzék A fejezet / alfejezet tartalomjegyzéke