3.1Alapfogalmak

Definíció 3.1 [ Gömbkörnyezet ]

Legyen p∈Rn\rvec p \in \Reals^n. Ekkor a p\rvec p pont ε\varepsilon sugarú nyílt környezetén (gömbkörnyezetén) a

Bε(p):={x∈Rn∣∣x−p∣<ε} halmazt eˊrtju¨k. B_\varepsilon(\rvec p) := \{ \rvec x \in \Reals^n \mid | \rvec x - \rvec p | < \varepsilon \} \text{ halmazt értjük.}

Megjegyzés

A tobábbiakban En\mathbb E^n jelölje az nn dimenziós euklideszi teret.

Definíció 3.2 [ Pontsorozat konvergenciája ]

A (pn)(\rvec p_n) En\mathbb E^n-beli pontsorozat konvergens, ha ∃p∈En\exists \rvec p \in \mathbb E^n, hogy ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 esetén ∃N(ε)\exists N(\varepsilon) küszöbindex, hogy n>N(ε)n > N(\varepsilon) esetén pn∈Bε(p)\rvec p_n \in B_\varepsilon(\rvec p).

Ekkor a p\rvec p pontot a sorozat határértékének, vagy határpontjának nevezzük.

Tétel 3.1 [ Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel ]

Végtelen, korlátos, Rn\Reals^n-beli ponthalmazból kiválasztható konvergens pontsorozat részsorozata. Ezen sorozat határértéke (határpontja) a ponthalmaz torlódási pontja.

Többváltozós függvények jelölése:

Legyen f:Rn→Rk\rvec f: \Reals^n \to \Reals^k függvény. Ekkor a függvény az alábbi formában írható fel:

[x1x2⋮xn]↦f(x1;x2;…;xn)=[f1(x1;x2;…;xn)f2(x1;x2;…;xn)⋮fk(x1;x2;…;xn)], \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \mapsto \rvec f(x_1; x_2; \ldots; x_n) = \begin{bmatrix} f_1 (x_1; x_2; \ldots; x_n) \\ f_2 (x_1; x_2; \ldots; x_n) \\ \vdots \\ f_k (x_1; x_2; \ldots; x_n) \end{bmatrix} \text,

ahol az fi:Rn→R,i∈{1;2;… ;k}f_i: \Reals^n \to \Reals, i \in \{1;2;\dots;k\} függvényeket komponensfüggvényeknek nevezzük.

Speciális elnevezések:

Rn→Rk\Reals^n \to \Reals^kvektor-vektor függvény
Rn→Rk\Reals^n \to \Reals^{\phantom{k}}vektor-skalár függvény
Rn→Rk\Reals^{\phantom{n}} \to \Reals^kskálár-vektor függvény

Definíció 3.3 [ Többváltozós függvény határértéke ]

Tekintsük az f:Rn→Rk\rvec f: \Reals^n \to \Reals^k leképezést. Azt mondjuk, hogy az ff határértéke a∈Rn\rvec a \in \Reals^n pontban A∈Rk\rvec A \in \Reals^k, ha az A\rvec A tetszőleg ε>0\varepsilon > 0 sugarú gömbkörnyezetéhez létezik az a\rvec a-nak olyan δ(ε)\delta(\varepsilon) sugarú gömbkörnyezete, hogy

x∈Bδ(ε)(a)∖{a}⇒f(x)∈Bε(A). \rvec x \in B_{\delta(\varepsilon)}(\rvec a) \setminus \{\rvec a\} \quad \Rightarrow \quad \rvec f(\rvec x) \in B_\varepsilon(\rvec A) \text.

Definíció 3.4 [ Többváltozós függvény folytonossága ]

Azt mondjuk, hogy az f:Df⊂Rn→Rk\rvec f: \Domain_f \subset \Reals^n \to \Reals^k leképezés folytonos az értelmezési tartományának egy belső pontjában (a∈Df\rvec a \in \Domain_f), ha az adott pontbeli határértéke megegyezik az adott pontbeli függvényértékkel, vagyis

lim⁡x→af(x)=f(a). \lim_{\rvec x \to \rvec a} \rvec f(\rvec x) = \rvec f(\rvec a) \text.

Tétel 3.2 [ Átviteli elv egyváltozós függvényekre ]

Az ff függvény határértéke az a∈Dfa \in \Domain_f pontban akkor és csak akkor AA, ha ∀xn→a\forall x_n \to a sorozat esetén f(xn)→Af(x_n) \to A.

Tétel 3.3 [ Az átviteli elv általánosítása ]

Az f:Rn→Rk\rvec f: \Reals^n \to \Reals^k függvény határértéke az a∈Rn\rvec a \in \Reals^n pontban akkor és csak akkor A∈Rk\rvec A \in \Reals^k, ha ∀xn→a\forall \rvec x_n \to \rvec a sorozat esetén f(xn)→A\rvec f(\rvec x_n) \to \rvec A.

Definíció 3.5 [ Többváltozós függvény differenciálhatósága ]

Legyen I∈RnI \in \Reals^n nyílt halmaz, f:I→Rk\rvec f: I \to \Reals^k leképezés. Azt mondjuk, hogy az f\rvec f differenciálható az a∈I\rvec a \in I pontban, ha ∃A:Rn→Rk\exists \mathscr A: \Reals^n \to \Reals^k lineáris leképezés és w:Rn→Rk\rvec w: \Reals^n \to \Reals^k függvény, hogy

w(0)=0eˊslim⁡∥h∥→0∥w(h)∥∥h∥,hogyf(x)−f(A)=A(x−a)+w(x−a). \rvec w(\nvec) = \nvec \quad\text{és}\quad \lim_{\rvec \|h\| \to 0} \frac{ \|\rvec w(\rvec h)\| }{ \|\rvec h\| } \text,\quad \text{hogy} \quad \rvec f(\rvec x) - \rvec f(\rvec A) = \mathscr A(\rvec x - \rvec a) + \rvec w(\rvec x - \rvec a) \text.

Állítás

Ha az f:I⊂Rn→Rk\rvec f: I \subset \Reals^n \to \Reals^k függvény differenciálható az a∈I\rvec a \in I pontban, akkor ott folytonos is.

Bizonyítás

Legyen h=x−a\rvec h = \rvec x - \rvec a, ekkor f(x)−f(a)=A(h)+w(h)=A(h)+w(h)∥h∥∥h∥.\displaystyle \rvec f(\rvec x) - \rvec f(\rvec a) = \mathscr A(\rvec h) + \rvec w(\rvec h) = \mathscr A(\rvec h) + \frac{\rvec w(\rvec h) \|\rvec h\|}{\|\rvec h\|} \text. Ha h→0\rvec h \to \nvec, akkor w(h)/∥h∥→0\rvec w(\rvec h) / \|\rvec h\| \to \nvec, azaz ∥f(a+h)−f(a)∥\|\rvec f(\rvec a + \rvec h) - \rvec f(\rvec a)\| tetszőlegesen kicsivé tehető, hiszen A(0)=0\mathscr A(\nvec) = \nvec tetszőleges lineáris leképezésre igaz. Az állítás így igaz.

Állítás

Ha létezik az f:I⊂Rn→Rk\rvec f: I \subset \Reals^n \to \Reals^k függvénynek az a∈I\rvec a \in I pontbeli deriváltja, akkor az A\mathscr A lineáris lekézezés egyértelmű.

Bizonyítás [ Indirekt bizonyítás ]

Tegyük fel, hogy A1:Rn→Rk\mathscr A_1: \Reals^n \to \Reals^k és A2:Rn→Rk\mathscr A_2: \Reals^n \to \Reals^k két különböző lineáris leképezés egyaránt az f\rvec f függvénynek az a\rvec a pontbeli deriváltja. Ekkor

lim⁡∥h∥→0∥f(a+h)−f(a)−A1(h)∥∥h∥ eˊs lim⁡∥h∥→0∥f(a+h)−f(a)−A2(h)∥∥h∥. \lim_{\|\rvec h\| \to 0} \frac{ \|\rvec f(\rvec a + \rvec h) - \rvec f(\rvec a) - \mathscr A_1(\rvec h)\| }{ \|\rvec h\| } \quad\text{ és }\quad \lim_{\|\rvec h\| \to 0} \frac{ \|\rvec f(\rvec a + \rvec h) - \rvec f(\rvec a) - \mathscr A_2(\rvec h)\| }{ \|\rvec h\| } \text.

Vonjuk ki egymásból a két kifejezést:

lim⁡∥h∥→0∥A1(h)−A2(h)∥∥h∥=0. \lim_{\|\rvec h\| \to 0} \frac{ \|\mathscr A_1(\rvec h) - \mathscr A_2(\rvec h)\| }{ \|\rvec h\| } = 0 \text.

Mivel A1\mathscr A_1 és A2\mathscr A_2 lineáris leképezések, ezért a különbségük is az, ebből

A1(h)−A2(h)=(A1−A2)⏟B(h). \mathscr A_1(\rvec h) - \mathscr A_2(\rvec h) = \underbrace{(\mathscr A_1 - \mathscr A_2)}_{\mathscr B}(\rvec h) \text.

Vizsgáljuk a h=λu\rvec h = \lambda \rvec u esetet. Ekkor, ha h→0\rvec h \to \nvec, akkor λ→0\lambda \to 0 is igaz. Tehát

lim⁡λ→0B(λu)∥λu∥=lim⁡λ→0λB(u)∣λ∣ ∥u∥=0. \lim_{\lambda \to 0} \frac{\mathscr B(\lambda \rvec u)}{\|\lambda \rvec u\|} = \lim_{\lambda \to 0} \frac{\lambda \mathscr B(\rvec u)}{|\lambda| \, \|\rvec u\|} = \nvec \text.

Mivel tetszőleges u∈Rn\rvec u \in \Reals^n esetén a λ/∣λ∣=±1\lambda / |\lambda| = \pm 1, ezért B(u)=0\mathscr B(\rvec u) = \nvec. Azaz B\mathscr B lineáris leképezés, méghozzá a nulla leképezés, ezért A1=A2\mathscr A_1 = \mathscr A_2, ami ellentmond a feltételezésnek.

Definíció 3.6 [ Többváltozós függvény differenciálhatósága ]

Az f:Rn→Rk\rvec f: \Reals^n \to \Reals^k leképezés differenciálható az értelmezési tartományának egy adott pontjában, ha ebben a pontban a komponensfüggvényei is differenciálhatóak.

Állítás

Legyen f:Rn→Rk\rvec f: \Reals^n \to \Reals^k és g:Rk→Rm\rvec g: \Reals^k \to \Reals^m differenciálhatóak az a∈Df∩Dg\rvec a \in \Domain_f \cap \Domain_g pontban. Ekkor az f+g\rvec f + \rvec g is differenciálható az a\rvec a pontban, és

(f+g)′(a)=f′(a)+g′(a). (\rvec f + \rvec g)'(\rvec a) = \rvec f'(\rvec a) + \rvec g'(\rvec a) \text.

Állítás

Legyen f:Rn→Rk\rvec f: \Reals^n \to \Reals^k differenciálható az a∈Df\rvec a \in \Domain_f pontban, és λ∈R\lambda \in \Reals. Ekkor a λf\lambda \rvec f is differenciálható az a\rvec a pontban, és

(λf)′(a)=λf′(a). (\lambda \rvec f)'(\rvec a) = \lambda \rvec f'(\rvec a) \text.

Állítás

Legyen f:Rn→Rk\rvec f: \Reals^n \to \Reals^k és g:Rk→Rm\rvec g: \Reals^k \to \Reals^m leképezések, ∀x∈Df\forall x \in \Domain_f-re f(x)∈Dgf(x) \in \Domain_g, továbbá f\rvec f differenciálható az a∈Df\rvec a \in \Domain_f pontban és g\rvec g differenciálható az f(a)\rvec f(\rvec a) pontban. Ekkor a g∘f\rvec g \circ \rvec f is differenciálható az a\rvec a pontban, és

(g∘f)′(a)=g′(f(a))∘f′(a). (\rvec g \circ \rvec f)'(\rvec a) = \rvec g'(\rvec f(\rvec a)) \circ \rvec f'(\rvec a) \text.
Előző oldalTöbbváltozós analízisKövetkező oldalIránymenti és parciális deriváltak