1.4Lineáris leképezések

Definíció 1.27 [ Lineáris leképezés ]

Legyenek V1V_1 és V2V_2 ugyanazon TT test feletti vektorterek. Legyen φ:V1→V2\varphi: V_1 \rightarrow V_2 leképezés, melyet lineáris leképezésnek nevezünk, ha tetszőleges két V1V_1-beli vektor (∀a;b∈V1)(\forall \rvec a; \rvec b \in V_1) és TT-beli skalár (λ∈T)(\lambda \in T) esetén teljesülnek az alábbiak:

  • φ(a+b)=φ(a)+φ(b)\varphi(\rvec a + \rvec b) = \varphi(\rvec a) + \varphi(\rvec b) (additív)
  • φ(λa)=λφ(a)\varphi(\lambda \rvec a) = \lambda \varphi(\rvec a) (homogén)

Megjegyzés

φ(0)=0\varphi(\nvec) = \nvec minden lineáris leképezés esetén.

Megjegyzés

A linearitás miatt φ(−a)=−φ(a)\varphi(-\rvec a) = - \varphi(\rvec a).

Definíció 1.28 [ Homomorfizmus ]

Hom⁡(V1;V2):={  φ:V1→V2  ∣  φ lineaˊris  } \operatorname{Hom} (V_1; V_2) := \big\{\; \varphi: V_1 \to V_2 \; \big| \; \varphi \text{ lineáris} \;\big\}

Definíció 1.29 [ Endomorfizmus ]

End⁡(V):=Hom⁡(V;V) \operatorname{End} (V) := \operatorname{Hom} (V; V)

Állítás

(Hom⁡(V1;V2),+,λ)(\operatorname{Hom} (V_1; V_2), +, \lambda) vektortér R\Reals vagy C\mathbb C felett.

Definíció 1.30 [ Izomorfizmus ]

A φ:V1→V2\varphi: V_1 \to V_2 leképezés izomorfizmus, ha lineáris és bijektív.

Állítás

Véges dimenziójú vektorterek esetén az egymással izomorf vektorterek dimenziója azonos.

Állítás

Legyenek V1V_1 és V2V_2 ugyanazon test feletti vektorterek, és dim⁡V1=dim⁡V2\dim V_1 = \dim V_2. Ekkor V1≃V2V_1 \simeq V_2

Tétel 1.7 [ Lineáris leképezések alaptétele ]

Legyenek V1V_1 és V2V_2 ugyanazon test feletti vektorterek, és legyen {b1;b2;…;bn}\{ \rvec b_1; \rvec b_2; \ldots; \rvec b_n \} bázis V1V_1-ben, és {a1;a2;…;an}\{ \rvec a_1; \rvec a_2; \ldots; \rvec a_n \} tetszőleges vektorrendszer V2V_2-ben. Ekkor egyetlen lineáris leképezés létezik, melyre φ(bi)=ai\varphi(\rvec b_i) = \rvec a_i, ahol i∈{1,2,…,n}i \in \{1, 2, \ldots, n\}.

Bizonyítás [ Unicitás, indirekt módon ]

Legyenek φ≠ψ\varphi \neq \psi lineáris leképezések, melyekre φ(bi)=ai\varphi(\rvec b_i) = \rvec a_i és ψ(bi)=ai\psi(\rvec b_i) = \rvec a_i, i∈{1,2,…,n}i \in \{1, 2, \ldots, n\}. Legyen x∈V1\rvec x \in V_1 tetszőleges, x=∑i=1nξibi\rvec x = \sum_{i=1}^{n} \xi_i \rvec b_i. Hattassuk φ\varphi-t x\rvec x-re:

φ(x)=φ(∑i=1nξibi)=∑i=1nξiφ(bi)=ξ1φ(b1)+…+ξnφ(bn)==ξ1a1+…+ξnan=ξ1ψ(b1)+…+ξnψ(bn)=ψ(∑i=1nξibi)=ψ(x)\begin{align*} \varphi(\rvec x) & = \varphi\left( \sum_{i = 1}^{n} \xi_i \rvec b_i \right) = \sum_{i = 1}^{n} \xi_i \varphi(\rvec b_i) = \xi_1 \varphi(\rvec b_1) + \ldots + \xi_n \varphi(\rvec b_n) \\ = \\ & = \xi_1 \rvec a_1 + \ldots + \xi_n \rvec a_n = \xi_1 \psi(\rvec b_1) + \ldots + \xi_n \psi(\rvec b_n) = \psi\left( \sum_{i = 1}^{n} \xi_i \rvec b_i \right) = \psi(\rvec x) \end{align*}

Ezzel φ=ψ\varphi = \psi, ami ellentmond a feltételnek, tehát a feltevés nem igaz.

Bizonyítás [ Egzisztencia, konstruktív bizonyítás ]

Legyen φ:V1→V2\varphi: V_1 \rightarrow V_2 leképezés, és x↦φ(x)\rvec x \mapsto \varphi(\rvec x). Ha (ξ1;ξ2;…;ξn)(\xi_1; \xi_2; \ldots; \xi_n) az x\rvec x koordinátái, akkor φ(x)=ξ1a1+…+ξnan\varphi(\rvec x) = \xi_1 \rvec a_1 + \ldots + \xi_n \rvec a_n. Hasonló módon legyen (η1;η2;…;ηn)(\eta_1; \eta_2; \ldots; \eta_n) az y\rvec y koordinátái. Ekkor:

φ(x+y)=(ξ1+η1)a1+…+(ξn+ηn)an=ξ1a1+…+ξnan+η1a1+…+ηnan=φ(x)+φ(y),φ(λx)=λξ1a1+…+λξnan=λ(ξ1a1+…+ξnan)=λφ(x).\begin{align*} \varphi(\rvec x + \rvec y) & = (\xi_1 + \eta_1) \rvec a_1 + \ldots + (\xi_n + \eta_n) \rvec a_n \\ & = \xi_1 \rvec a_1 + \ldots + \xi_n \rvec a_n + \eta_1 \rvec a_1 + \ldots + \eta_n \rvec a_n = \varphi(\rvec x) + \varphi(\rvec y) \text, \\[3mm] \varphi(\lambda \rvec x) & = \lambda \xi_1 \rvec a_1 + \ldots + \lambda \xi_n \rvec a_n = \lambda (\xi_1 \rvec a_1 + \ldots + \xi_n \rvec a_n) = \lambda \varphi(\rvec x) \text. \end{align*}

Lineáris leképezések mátrixreprezentációja:

Legyenek V1V_1 és V2V_2 ugyanazon test feletti vektorterek, és dim⁡V1=n\dim V_1 = n, valamint dim⁡V2=k\dim V_2 = k. Legyen {a1;a2;…;an}\{ \rvec a_1; \rvec a_2; \ldots; \rvec a_n \} bázis V1V_1-ben, és {b1;b2;…;bn}\{ \rvec b_1; \rvec b_2; \ldots; \rvec b_n \} bázis V2V_2-ben. Legyen φ:V1→V2\varphi: V_1 \rightarrow V_2 lineáris leképezés, ekkor

φ(ai)=α1ib1+α2ib2+…+αkibk=∑j=1kαjibj⇒A:=[α11α2i⋯α1nα21α2i⋯α2n⋮⋮⋱⋮αk1αki⋯αkn]. \varphi(\rvec a_i) = \alpha_{1i} \rvec b_1 + \alpha_{2i} \rvec b_2 + \ldots + \alpha_{ki} \rvec b_k = \sum_{j=1}^{k} \alpha_{ji} \rvec b_j \quad\Rightarrow\quad \rmat A := \begin{bmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{2i} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \alpha_{21} & \alpha_{2i} & \cdots & \alpha_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{k1} & \alpha_{ki} & \cdots & \alpha_{kn} \end{bmatrix} \text.

Az A\rmat A mátrixot φ\varphi leképezést reprezentáló mátrixnak hívjuk, segítségével tetszőleges x∈V1\rvec x \in V_1 képét meghatározhatjuk. Legyenek (ξ1,ξ2,…,ξn)(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n) az x\rvec x koordinátái, ekkor a képét az alábbi módon számíthatjuk:

φ(x)=φ(∑i=1nξiai)=∑i=1nξiφ(ai)=[α11α2i⋯α1nα21α2i⋯α2n⋮⋮⋱⋮αk1αki⋯αkn][ξ1ξ2⋮ξn]. \varphi(\rvec x) = \varphi\left( \sum_{i=1}^{n} \xi_i \rvec a_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \xi_i \varphi(\rvec a_i) = \begin{bmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{2i} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \alpha_{21} & \alpha_{2i} & \cdots & \alpha_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{k1} & \alpha_{ki} & \cdots & \alpha_{kn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \vdots \\ \xi_n \end{bmatrix} \text.

Állítás

φ:Hom⁡(V1;V2)→Mk×n\varphi: \operatorname{Hom} (V_1; V_2) \rightarrow \mathcal M_{k \times n} izomorfizmus, ahol dim⁡V1=k\dim V_1 = k és dim⁡V2=n\dim V_2 = n.

Következény: dim⁡(Hom⁡(V1;V2))=n⋅k=dim⁡V1⋅dim⁡V2\dim(\operatorname{Hom} (V_1; V_2)) = n \cdot k = \dim V_1 \cdot \dim V_2.

Állítás

Legyenek V1V_1, V2V_2 és V3V_3 vektorterek, dim⁡V1=k\dim V_1 = k, dim⁡V2=m\dim V_2 = m és dim⁡V3=n\dim V_3 = n. Legyenek φ:V1→V2\varphi: V_1 \rightarrow V_2 és ψ:V2→V3\psi: V_2 \rightarrow V_3 lineáris leképezések, ekkor a V1V_1-ből V3V_3-ra való leképezés (ψ∘φ:V1→V3)(\psi \circ \varphi: V_1 \rightarrow V_3) olyan, hogy ha φ↔A∈Mm×k\varphi \leftrightarrow \rmat A \in \mathcal M_{m \times k} és ψ↔B∈Mn×m\psi \leftrightarrow \rmat B \in \mathcal M_{n \times m}, akkor ψ∘φ↔C∈Mn×k\psi \circ \varphi \leftrightarrow \rmat C \in \mathcal M_{n \times k}, ahol C=B⋅A\rmat C = \rmat B \cdot \rmat A.

Speciálisan, ha V1=V2=V3=VV_1 = V_2 = V_3 = V, dim⁡V=n\dim V = n, akkor A;B;C∈Mn×n\rmat A; \rmat B; \rmat C \in \mathcal M_{n \times n}.

Következény: Invertálható lineáris leképezés mátrixa invertálható.

Definíció 1.31 [ Leképezés magtere ]

Legyen φ:V1→V2\varphi: V_1 \rightarrow V_2 lineáris leképezés, ekkor a

ker⁡φ:={v  ∣  v∈V1∧φ(v)=0} \ker \varphi := \{ \rvec v \; | \; \rvec v \in V_1 \land \varphi(\rvec v) = \nvec \}

halmazt a leképezés magterének nevezzük.

Állítás

ker⁡φ\ker \varphi altér V1V_1-ben.

Definíció 1.32 [ Leképezés defektusa ]

A magtér dimenzióját defektusnak nevezzük, és def⁡φ\operatorname{def} \varphi-vel jelöljük.

Megjegyzés

Nem létezik olyan vektortér, melynek magtere az üreshalmaz (a nullvektor mindig benne van, mert a nullvektor képe mindig nullvektor).

Megjegyzés

Invertálható lineáris leképezés magtere a nullvektor.

Állítás

A φ\varphi leképezés injektív, akkor és csak akkor, ha ker⁡φ={0}⇔def⁡φ=0\ker \varphi = \{ \nvec \} \Leftrightarrow \operatorname{def} \varphi = 0.

Definíció 1.33 [ Lineáris leképezés rangja ]

Egy lineáris leképezés rangjának nevezzük a képtér dimenzióját. rg⁡φ=dim⁡φ(V1)\rg \varphi = \dim \varphi(V_1).

Tétel 1.8 [ Rang-nullitás tétele ]

Legyen V1V_1 véges dimenziós vektortér, φ:V1→V2\varphi: V_1 \rightarrow V_2 lineáris leképezés, ekkor

rg⁡φ+def⁡φ=dim⁡V1. \rg \varphi + \operatorname{def} \varphi = \dim V_1 \text.

Állítás

Tetszőleges lineáris leképezés rangja megegyezik bármely bázisra vonatkozó mátrixreprezentációjának rangjával. φ:V1→V2\varphi: V_1 \rightarrow V_2, dim⁡V1=m\dim V_1 = m, dim⁡V2=n⇒φ↔A\dim V_2 = n \Rightarrow \varphi \leftrightarrow \rmat A, A∈Mn×m\rmat A \in \mathcal M_{n \times m}, rg⁡φ=rg⁡A\rg \varphi = \rg \rmat A.

Tétel 1.9

Legyen φ:V→V\varphi: V \rightarrow V lineáris leképezés, {b1;b2;…;bn}\{ \rvec b_1; \rvec b_2; \ldots; \rvec b_n \} és {b^1;b^2;…;b^n}\{ \hat{\rvec b}_1; \hat{\rvec b}_2; \ldots; \hat{\rvec b}_n \} bázisok VV-ben. A φ{b1;b2;…bn}\varphi \{ \rvec b_1; \rvec b_2; \ldots \rvec b_n \} bázisra vonatkozó mátrixa A\rmat A, a φ{b^1;b^2;…;b^n}\varphi \{ \hat{\rvec b}_1; \hat{\rvec b}_2; \ldots; \hat{\rvec b}_n \} bázisra vonatkozó mátrixa A^\hat{\rmat A}. Jelölje S\rmat S a {b1;b2;…;bn}\{ \rvec b_1; \rvec b_2; \ldots; \rvec b_n \} bázisról a {b^1;b^2;…;b^n}\{ \hat{\rvec b}_1; \hat{\rvec b}_2; \ldots; \hat{\rvec b}_n \} bázisra való áttérés mátrixát, ekkor

A^=S−1AS. \hat{\rmat A} = \rmat S^{-1} \rmat A \rmat S \text.

Megjegyzés

A fenti tételben szereplő A\rmat A és A^\hat{\rmat A} mátrixok hasonlóak.

Megjegyzés

Hasonló mátrixok determinánsa megegyezik.

Megjegyzés

Hasonló mátrixok rangja egyenlő.

Definíció 1.34 [ Sajátértékek és sajátvektorok ]

Legyen VV a TT test feletti vektortér, v∈V\rvec v \in V, v≠0\rvec v \neq \nvec. v\rvec v-t a φ:V→V\varphi: V \rightarrow V lineáris leképezés sajátvektorának mondjuk, ha önmaga skalárszorosába megy át a leképezés során, azaz φ(v)=λv,\varphi(\rvec v) = \lambda \rvec v, λ∈T\lambda \in T. λ\lambda-t a v\rvec v sajátvektorhoz tartozó sajátértéknek mondjuk.

Megjegyzés

Ha a v\rvec v sajátvektora a φ\varphi-nek, akkor annak skalárszorosa is.

Tétel 1.10 [ Sajátértékek számítása ]

Az A∈Mn×n\rmat A \in \mathcal M_{n \times n} mátrix sajátértékeit a

det⁡(A−λE)=0 \det(\rmat A - \lambda \imat) = 0

karakterisztikus egyenlet gyökei.

Bizonyítás

Legyen v\rvec v az A\rmat A sajátvektora. Ekkor teljesül az Av=λv\rmat A \rvec v = \lambda \rvec v egyenlet. Ezt átalakítva:

Av−λv=0⇒Av−λEv=0⇒(A−λE)v=0. \rmat A \rvec v - \lambda \rvec v = \nvec \quad \Rightarrow \quad \rmat A \rvec v - \lambda \imat \rvec v = \nvec \quad \Rightarrow \quad (\rmat A - \lambda \imat) \rvec v = \nvec \text.

Így egy olyan homogén lineáris egyenletrendszert kapunk, amelynek létezik a triviálistól eltérő (v≠0)(\rvec v \neq \nvec) megoldása, tehát det⁡(A−λE)=0\det(\rmat A - \lambda \imat) = 0.

Megjegyzés

A det⁡(A−λE)=0\det(\rmat A - \lambda \imat) = 0 egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezzük.

A det⁡(A−λE)\det(\rmat A - \lambda \imat) polinomot karakterisztikus polinomnak nevezzük.

Állítás

Különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek.

Állítás

Szimmetrikus mátrix sajátértékei valósak.

Állítás

Az nn-edrendű szimmetrikus mátrixnak van nn darab, páronként egymásra merőleges sajátvektora.

Példa

Határozzuk meg az A\rmat A mátrix sajátértékeit és sajátvektorait!

A=[2−1−12]A−λE=[2−1−12]−λ[1001]=[2−λ−1−12−λ] \rmat A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \qquad \rmat A - \lambda \imat = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 - \lambda & -1 \\ -1 & 2 - \lambda \end{bmatrix}

A karakterisztikus egyenlet, és ennek alapján a sajátértékek:

det⁡(A−λE)=(2−λ)2−1=0⇒λ1=1,λ2=3. \det(\rmat A - \lambda \imat) = (2 - \lambda)^2 - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = 1 \text, \quad \lambda_2 = 3 \text.

A sajátvektorokat az (A−λiE)vi=0(\rmat A - \lambda_i \imat) \rvec v_i = 0 egyenlet segítségével számíthatjuk ki:

  • A λ1=1\lambda_1 = 1 sajátértékhez tartozó sajátvektor:

    [1−1−11][xy]=[00]⇒x=y⇒v1=t1[11] \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad x = y \quad \Rightarrow \quad \rvec v_1 = t_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

  • A λ2=3\lambda_2 = 3 sajátértékhez tartozó sajátvektor:

    [−1−1−1−1][xy]=[00]⇒x=−y⇒v2=t2[1−1] \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad x = -y \quad \Rightarrow \quad \rvec v_2 = t_2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

Definíció 1.35 [ Skaláris szorzat ]

Legyen VV egy R\Reals feletti vektortér, és ⟨x⟩:V×V→R\langle \phantom{x} \rangle: V \times V \rightarrow \Reals függvény, melyet skaláris szorzatnak nevezünk, ha teljesülnek az alábbiak:

  1. ⟨x;y⟩=⟨y;x⟩\langle \rvec x; \rvec y \rangle = \langle \rvec y; \rvec x \rangle minden x;y∈V\rvec x; \rvec y \in V esetén, (szimmetrikus)

  2. ⟨λx;y⟩=λ⟨x;y⟩\langle \lambda \rvec x; \rvec y \rangle = \lambda \langle \rvec x; \rvec y \rangle minden x;y∈V\rvec x; \rvec y \in V és λ∈R\lambda \in \Reals esetén, (homogén)

  3. ⟨x1+x2;y⟩=⟨x1;y⟩+⟨x2;y⟩\langle \rvec x_1 + \rvec x_2; \rvec y \rangle = \langle \rvec x_1; \rvec y \rangle + \langle \rvec x_2; \rvec y \rangle minden x1;x2;y∈V\rvec x_1; \rvec x_2; \rvec y \in V esetén, (additív)

  4. ⟨x;x⟩≥0\langle \rvec x; \rvec x \rangle \geq 0, egyenlőség akkor és csak akkor, ha x=0\rvec x = \nvec. (nemnegatív)

Definíció 1.36 [ Euklideszi tér ]

Legyen {e1;e2;…;en}\{ \rvec e_1; \rvec e_2; \ldots; \rvec e_n \} kanonikus bázis, melyben

x=[ξ1ξ2⋮ξn]eˊsy=[η1η2⋮ηn],ekkor⟨x;y⟩:=∑i=1nξiηi. \rvec x = \begin{bmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \vdots \\ \xi_n \end{bmatrix} \quad\text{és}\quad \rvec y = \begin{bmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ \vdots \\ \eta_n \end{bmatrix} \text,\quad\text{ekkor}\quad \langle \rvec x; \rvec y \rangle := \sum_{i=1}^{n} \xi_i \eta_i \text.

Az így előállított (V,⟨x⟩)(V, \langle \phantom{x} \rangle) valós euklideszi tér.

Jelölése: En\mathbb E^n: nn dimenziós euklideszi tér.

A valós euklideszi térben értelmezhetjük a vektorok hosszát: ∥x∥=⟨x;x⟩\|\rvec x\| = \sqrt{\langle \rvec x; \rvec x \rangle}.

Valamint értelmezhetjük x\rvec x és y\rvec y vektorok szögét: cos⁡∠(x;y)=⟨x;y⟩∥x∥∥y∥∈[−1;1]\displaystyle \cos \angle(\rvec x; \rvec y) = \frac{\langle \rvec x; \rvec y \rangle}{\|\rvec x\| \|\rvec y\|} \in [-1;1] .

Megjegyzés

Valós euklideszi térekben érvényesek a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwartz-egyenlőtlenség:

⟨x;y⟩2≤∥x∥2⋅∥y∥2=⟨x;x⟩⋅⟨y;y⟩. \langle \rvec x; \rvec y \rangle^2 \leq \|\rvec x\|^2 \cdot \|\rvec y\|^2 = \langle \rvec x; \rvec x \rangle \cdot \langle \rvec y; \rvec y \rangle \text.

Ebből következik, hogy a háromszög egyenlőtlenség is teljesül:

∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥. \|\rvec x + \rvec y\| \leq \|\rvec x\| + \|\rvec y\| \text.

Definíció 1.37 [ Ortonormált bázis ]

A (V,⟨x⟩)(V, \langle \phantom{x} \rangle) nn dimenziós euklideszi tér {e1;e2;…;en}\{ \rvec e_1; \rvec e_2; \ldots; \rvec e_n \} bázisát ortonormáltnak mondjuk, ha ⟨ei;ej⟩=δij\langle \rvec e_i; \rvec e_j \rangle = \delta_{ij}, ahol

δij={1,ha i=j,0,ha i≠j, \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{ha } i = j \text, \\ 0, & \text{ha } i \neq j \text, \end{cases}

az úgynevezett Kronecker-delta.

Definíció 1.38 [ Ortogonális transzformáció ]

Az nn dimenziós euklideszi tér A:V→V\mathcal A: V \rightarrow V lineáris transzformációját ortogonálisnak mondjuk, ha ⟨Ax;Ay⟩=⟨x;y⟩\langle \mathcal A \rvec x; \mathcal A \rvec y \rangle = \langle \rvec x; \rvec y \rangle, minden x;y∈V\rvec x; \rvec y \in V esetén.

Megjegyzés

  • Ortogonális transzformáció normatartó.

  • Ortogonális transzformáció szögtartó.

  • Ortogonális transzformáció ortonormált bázist ortonormált bázisba visz át.

Definíció 1.39 [ Bázistranszformáció ]

Legyenek {b1;b2;…;bn}\{ \rvec b_1; \rvec b_2; \ldots; \rvec b_n \} és {b^1;b^2;…;b^n}\{ \hat{\rvec b}_1; \hat{\rvec b}_2; \ldots; \hat{\rvec b}_n \} bázisok VV-ben. Ekkor a {b1;b2;…;bn}→{b^1;b^2;…;b^n}\{ \rvec b_1; \rvec b_2; \ldots; \rvec b_n \} \rightarrow \{ \hat{\rvec b}_1; \hat{\rvec b}_2; \ldots; \hat{\rvec b}_n \} bázistranszformáció S\rmat S mátrixa a következőképpen írható fel:

b^1=s11b1+s21b2+…+sn1bnb^2=s12b1+s22b2+…+sn2bn⋮b^j=s1jb1+s2jb2+…+snjbn⋮b^n=s1nb1+s2nb2+…+snnbn}⇒S=[s11s12⋯s1ns21s22⋯s2n⋮⋮⋱⋮sn1sn2⋯snn] \left.\begin{array}{rl} \hat{\rvec b}_1 & = s_{11} \rvec b_1 + s_{21} \rvec b_2 + \ldots + s_{n1} \rvec b_n \\ \hat{\rvec b}_2 & = s_{12} \rvec b_1 + s_{22} \rvec b_2 + \ldots + s_{n2} \rvec b_n \\ & \vdots \\ \hat{\rvec b}_j & = s_{1j} \rvec b_1 + s_{2j} \rvec b_2 + \ldots + s_{nj} \rvec b_n \\ & \vdots \\ \hat{\rvec b}_n & = s_{1n} \rvec b_1 + s_{2n} \rvec b_2 + \ldots + s_{nn} \rvec b_n \end{array}\right\} \quad\Rightarrow\quad \rmat S = \begin{bmatrix} s_{11} & s_{12} & \cdots & s_{1n} \\ s_{21} & s_{22} & \cdots & s_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ s_{n1} & s_{n2} & \cdots & s_{nn} \end{bmatrix}

Állítás

A bázistranszformáció mátrixa mindig invertálható.

Előző oldalLineáris egyenletrendszerekKövetkező oldalFüggvénysorozatok, függvénysorok