3.4Szélsőértékszámítás

Definíció 3.12 [ Többváltozós függvény maximuma ]

Legyen f:H⊂Rn→Rf: H \subset \Reals^n \to \Reals. Azt mondjuk, hogy az ff-nek az a∈int⁡H\rvec a \in \inner H pontban lokális maximuma van, ha létezik az a∈U⊂H\rvec a \in U \subset H környetzete, hogy f(a)≥f(x)f(\rvec a) \geq f(\rvec x)   ∀x∈U\;\forall \rvec x \in U-ra.

Definíció 3.13 [ Többváltozós függvény minimuma ]

Legyen f:H⊂Rn→Rf: H \subset \Reals^n \to \Reals. Azt mondjuk, hogy az ff-nek az a∈int⁡H\rvec a \in \inner H pontban lokális minimuma van, ha létezik az a∈U⊂H\rvec a \in U \subset H környetzete, hogy f(a)≤f(x)f(\rvec a) \leq f(\rvec x)   ∀x∈U\;\forall \rvec x \in U-ra.

Definíció 3.14 [ Stacionárius pont ]

Legyen f:H⊂Rn→Rf: H \subset \Reals^n \to \Reals, a∈int⁡H\rvec a \in \inner H és léteznek az ff parciális deriváltjai az a\rvec a pontban. Ha ∀i∈{1;2;…;n}\forall i \in \{1;2;\ldots;n\}-re ∂if(a)=0\partial_i f(\rvec a) = 0, akkor az a\rvec a a függvény stacionárius pontja.

Tétel 3.8 [ Stacionárius pont létezése ]

Legyen f:H⊂Rn→Rf: H \subset \Reals^n \to \Reals. Ha az ff függvény az összes változója szerint parciálisan differenciálható az a∈int⁡H\rvec a \in \inner H pontban, és ott lokális szelsőértéke van, akkor az a\rvec a stacionárius pontja az ff függvénynek.

Definíció 3.15 [ Lineáris forma ]

Legyen a VV a TT test feletti vektortér. Ha a φ:V→R\varphi: V \to \Reals leképezés lineáris, vagyis

φ(λx+μy)=λφ(x)+μφ(y)∀x;y∈V,λ;μ∈R, \varphi(\lambda \rvec x + \mu \rvec y) = \lambda \varphi(\rvec x) + \mu \varphi(\rvec y) \qquad \forall \rvec x; \rvec y \in V, \lambda; \mu \in \Reals \text,

akkor a φ\varphi-t lineáris formának is hívjuk.

Definíció 3.16 [ Billineáris forma ]

Legyen ψ:V×V→R\psi: V \times V \to \Reals mindkét változójában lineáris, azaz

ψ(λ1x1+λ2x2;y)=λ1ψ(x1;y)+λ2ψ(x2;y)∀x1;x2;y∈V,λ1;λ2∈R,ψ(x;μ1y1+μ2y2)=μ1ψ(x;y1)+μ2ψ(x;y2)∀x;y1;y2∈V,μ1;μ2∈R.\begin{alignat*}{9} \psi(\lambda_1 \rvec x_1 + \lambda_2 \rvec x_2; \rvec y) & = \lambda_1 \psi(\rvec x_1; \rvec y) + \lambda_2 \psi(\rvec x_2; \rvec y) & & \qquad \forall \rvec x_1; \rvec x_2; \rvec y \in V, \lambda_1; \lambda_2 \in \Reals \text, \\ \psi(\rvec x; \mu_1 \rvec y_1 + \mu_2 \rvec y_2) & = \mu_1 \psi(\rvec x; \rvec y_1) + \mu_2 \psi(\rvec x; \rvec y_2) & & \qquad \forall \rvec x; \rvec y_1; \rvec y_2 \in V, \mu_1; \mu_2 \in \Reals \text. \end{alignat*}

Ekkor a ψ\psi-t bilineáris formának mondjuk.

Megjegyzés

A ψ\psi bilineáris forma szimmetrikus, ha ψ(x;y)=ψ(y;x)∀x;y∈V\psi(\rvec x; \rvec y) = \psi(\rvec y; \rvec x) \quad \forall \rvec x; \rvec y \in V-re.

Megjegyzés

A ψ\psi bilineáris forma antiszimmetrikus, ha ψ(x;y)=−ψ(y;x)∀x;y∈V\psi(\rvec x; \rvec y) = -\psi(\rvec y; \rvec x) \quad \forall \rvec x; \rvec y \in V-re.

Definíció 3.17 [ Kvadratikus forma ]

Legyen η:V→R\eta: V \to \Reals. Ha létezik olyan ψ:V×V→R\psi: V \times V \to \Reals szimmetrikus bilineáris forma, hogy η(x)=ψ(x;x)∀x∈V\eta(\rvec x) = \psi(\rvec x; \rvec x) \quad \forall \rvec x \in V-re, akkor az η\eta-t kvadratikus formának, vagy kvadratikus alaknak nevezzük.

Az η\eta kvadratikus forma…\dots

  • pozitív definit, ha η(x)>0∀x∈V∖{0}\eta(\rvec x) > 0 \quad \forall \rvec x \in V \setminus \{\nvec\}.
  • negatív definit, ha η(x)<0∀x∈V∖{0}\eta(\rvec x) < 0 \quad \forall \rvec x \in V \setminus \{\nvec\}.
  • pozitív szemidefinit, ha η(x)≥0∀x∈V\eta(\rvec x) \geq 0 \quad \forall \rvec x \in V.
  • negatív szemidefinit, ha η(x)≤0∀x∈V\eta(\rvec x) \leq 0 \quad \forall \rvec x \in V.

Ha ezek egyike sem teljesül, indefinit kvadratikus formáról beszélünk.

Tétel 3.9 [ Kritériumok a lokális szélsőértékekhez ]

Legyen f:H⊂Rn→Rf: H \subset \Reals^n \to \Reals. Tegyük fel, hogy az ff függvény az összes változója szerint parciálisan differenciálható az a∈int⁡H\rvec a \in \inner H pont valamely környezetében. Legyen továbbá az a\rvec a stacionárius pontja az ff-nek és Q:Rn→RQ: \Reals^n \to \Reals olyan kvadratikus forma, melynek mátrixa: \def\arraystretch1.5

Q(a)=[∂12f(a)∂1∂2f(a)⋯∂1∂nf(a)∂2∂1f(a)∂22f(a)⋯∂2∂nf(a)⋮⋮⋱⋮∂n∂1f(a)∂n∂2f(a)⋯∂n2f(a)]∈Mn×n. \rmat Q(\rvec a) = \begin{bmatrix} \partial_1^2 f(\rvec a) & \partial_1 \partial_2 f(\rvec a) & \cdots & \partial_1 \partial_n f(\rvec a) \\ \partial_2 \partial_1 f(\rvec a) & \partial_2^2 f(\rvec a) & \cdots & \partial_2 \partial_n f(\rvec a) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial_n \partial_1 f(\rvec a) & \partial_n \partial_2 f(\rvec a) & \cdots & \partial_n^2 f(\rvec a) \end{bmatrix} \in \mathscr M_{n \times n} \text.
  • Ha QQ pozitív definit, akkor az a\rvec a pontban az ff-nek lokális minimuma van.
  • Ha QQ negatív definit, akkor az a\rvec a pontban az ff-nek lokális maximuma van.
  • Ha QQ indefinit, akkor az a\rvec a pontban az ff-nek nincs szélsőértéke.

Tétel 3.10 [ Kritériumok a lokális szélsőértékekhez 2 ]

Legyen n=2n = 2 és teljesüljenek az előző tétel feltételei. Ekkor

D(a)=det⁡Q(a)=∣∂12f(a)∂1∂2f(a)∂2∂1f(a)∂22f(a)∣ eˊs S(a)=tr⁡Q(a)=∂12f(a)+∂22f(a) \mathscr D(\rvec a) = \det \rmat Q(\rvec a) = \begin{vmatrix} \partial_1^2 f(\rvec a) & \partial_1 \partial_2 f(\rvec a) \\ \partial_2 \partial_1 f(\rvec a) & \partial_2^2 f(\rvec a) \end{vmatrix} \quad\text{ és }\quad \mathscr S(\rvec a) = \trace \rmat Q(\rvec a) = \partial_1^2 f(\rvec a) + \partial_2^2 f(\rvec a)
  • Ha D(a)>0\mathscr D(\rvec a) > 0 és S(a)>0\mathscr S(\rvec a) > 0 akkor az a\rvec a pontban az ff-nek lokális minimuma van.
  • Ha D(a)>0\mathscr D(\rvec a) > 0 és S(a)<0\mathscr S(\rvec a) < 0 akkor az a\rvec a pontban az ff-nek lokális maximuma van.
  • Ha D(a)<0\mathscr D(\rvec a) < 0 akkor az a\rvec a pontban az ff-nek nincs szélsőértéke.

Definíció 3.18 [ Feltételes szélsőérték ]

Legyen m;n∈Z+m;n \in \mathbb Z^+, m>nm > n, H∈RmH \in \Reals^m nyílt halmaz, f:H→Rf: H \to \Reals és g:H→Rn\rvec g : H \to \Reals^n leképezések, továbbá H0:={x∣x∈H∧g(x)=0}H_0 := \{ \rvec x \mid \rvec x \in H \land \rvec g (\rvec x) = \nvec\}. Ha az ff függvény H0H_0-ra való leszűkítésének (f∣H0f|_{H_0}) az a\rvec a pontban lokális szélsőértéke van, akkor azt mondjuk, hogy az ff-nek az a\rvec a pontban feltételes szélsőértéke van a g(a)=0\rvec g(\rvec a) = \nvec feltétellel.

Definíció 3.19 [ Lagrange féle multiplikátor ]

Legyen m;n∈Z+m;n \in \mathbb Z^+, m>nm > n, H∈RmH \in \Reals^m nyílt halmaz, f:H→Rf: H \to \Reals és g:H→Rn\rvec g : H \to \Reals^n leképezések, továbbá H0:={x∣x∈H∧g(x)=0}H_0 := \{ \rvec x \mid \rvec x \in H \land \rvec g (\rvec x) = \nvec\}. Tegyük fel, hogy az ff és gi\rvec g_i függvények minden parciális deriváltja folytonos a HH halmazon. Ha az ff függvény az a∈H0\rvec a \in H_0 pontban feltételes szélsőértéke van a g(a)=0\rvec g(\rvec a) = \nvec feltétellel és a \def\arraystretch1.5

rg⁡[∂1g1(a)∂2g1(a)⋯∂ng1(a)∂1g2(a)∂2g2(a)⋯∂ng2(a)⋮⋮⋱⋮∂1gn(a)∂2gn(a)⋯∂ngn(a)]=n (maximaˊlis), \rg \begin{bmatrix} \partial_1 g_1 (\rvec a) & \partial_2 g_1 (\rvec a) & \cdots & \partial_n g_1 (\rvec a) \\ \partial_1 g_2 (\rvec a) & \partial_2 g_2 (\rvec a) & \cdots & \partial_n g_2 (\rvec a) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial_1 g_n (\rvec a) & \partial_2 g_n (\rvec a) & \cdots & \partial_n g_n (\rvec a) \end{bmatrix} = n \text{ (maximális)},

akkor léteznek olyan λ1;λ2;…λn\lambda_1; \lambda_2; \ldots \lambda_n skalárok, hogy

∂if(a)+∑k=1nλk ∂igk(a)=0∀i∈{1;2;…;m}. \partial_i f(\rvec a) + \sum_{k = 1}^{n} \lambda_k \,\partial_i g_k(\rvec a) = 0 \quad \forall i \in \{1;2;\ldots;m\} \text.

A λ1;λ2;…λn\lambda_1; \lambda_2; \ldots \lambda_n skalárokat Lagrange-féle multiplikátoroknak nevezzük.

Előző oldalKözépértéktételekKövetkező oldalIntegrálszámítás